Matemātika DU TSC
Nākamais: 4. FUNKCIJAS NEPĀRTRAUKTĪBA Augstāk: 3.14. Skaitļu virknes konverģences Košī kritērijs Iepriekšējais: 3.15. Jautājumi

3.16. Vingrinājumi

1. Konstruēt konverģentu skaitļu virkni un sniegt tās robežas ģeometrisku interpretāciju.
2. Konstruēt ierobežotu un diverģentu skaitļu virkni.
3. Pierādīt, ka Dirihlē funkcijai
   $$f(x)=\left\{\begin{array}{cccc} 1,& \text{ja} & x & \text{racionā... ...}; \\ 0, & \text{ja} & x & \text{iracionāls skaitlis} \\ \end{array}\right.$$
   neeksistē robeža punktā $x=0$.
4. Formulēt funkcijas robežas $A=\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)$ definīciju šādos gadījumos:
   1. $a\in\mathbb{R},\;A=+\infty$;
   2. $a\in\mathbb{R},\;A=-\infty$;
   3. $a=+\infty,\;A=+\infty$;
   4. $a=+\infty,\;A=-\infty$;
   5. $a=-\infty,\;A=+\infty$;
   6. $a\in\mathbb{R},\;A=\infty$;
   7. $a=-\infty,\;A=\infty$;
   8. $a=\infty,\;A=+\infty$;
   9. $a=\infty,\;A=-\infty$;
   10. $a=\infty,\;A=\infty$.
5. Izskaitļot $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\tg x}{x}$.
6. Parādīt, ka 3.7. teorēmai apgrieztais apgalvojums nav spēkā.
7. Pierādīt 3.8. teorēmu.
8. Parādīt, ka 3.12. teorēmai apgrieztais apgalvojums nav spēkā.
9. Pierādīt 3.14. teorēmu.
10. Izskaitļot $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^2}$.
11. Formulēt un pierādīt šādas teorēmas par virknes galīgām robežām:
    1. par virknes robežas vienīgumu;
    2. par divu konverģentu virkņu summu;
    3. par konverģentas virknes reizinājumu ar skaitli;
    4. par divu konverģentu virkņu reizinājumu;
    5. par divu konverģentu virkņu dalījumu.
12. Pierādīt 3.16. teorēmas sekas.
13. Pierādīt 3.17. teorēmu.
14. Definēt funkcijas robežu punktā no kreisās puses.
15. Pierādīt, ka divu bezgalīgi mazu funkciju summa un reizinājums ir bezgalīgi maza funkcija.
16. Pierādīt, ka bezgalīgi mazas funkcijas reizinājums ar ierobežotu funkciju ir bezgalīgi maza funkcija.
17. Pierādīt, ka bezgalīgi lielai funkcijai $f$ apgriezta funkcija $\frac{1}{f}$ ir bezgalīgi maza funkcija.
18. Pierādīt, ka $\tg x\sim x$ $(x\rightarrow 0)$.
19. Pierādīt, ka bezgalīgi lielas funkcijas modulis un reizinājums ar konstanti $k\neq 0$ ir bezgalīgi lielas funkcijas.
20. Pierādīt, ka divu bezgalīgi lielu funkciju reizinājums ir bezgalīgi liela funkcija.
21. Pierādīt, ka bezgalīgi lielas funkcijas reizinājums ar ierobežotu funkciju ir bezgalīgi liela funkcija.
22. Pierādīt, ka bezgalīgi lielas funkcijas un ierobežotas funkcijas summa ir bezgalīgi liela funkcija.
23. Parādīt, ka $\alpha(x)=\tg^3x-\sin x$ ir 3. kārtas bezgalīgi maza funkcija, kad $x\rightarrow 0$, salīdzinot ar $\beta(x)=x$.
24. Pierādīt 3.20. teorēmu.
25. Pierādīt, ka dilstoša un ierobežota no apakšas virkne ir konverģenta.
26. Pierādīt, ka dilstošas un konverģentas virknes katrs loceklis ir lielāks par šīs virknes robežu.
27. Pierādīt, ka $\lim\limits_{\alpha\rightarrow 0}(1+\alpha)^{\frac{1}{\alpha}}=e$.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 4. FUNKCIJAS NEPĀRTRAUKTĪBA Augstāk: 3.14. Skaitļu virknes konverģences Košī kritērijs Iepriekšējais: 3.15. Jautājumi