Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.5. Jautājumi Augstāk: 2. FUNKCIJA Iepriekšējais: 2.3.4. Periodiskas funkcijas

2.4. Apvērsta funkcija

Pētot dažas funkcijas, bieži nākas risināt šādu uzdevumu: aprēķināt funkcijas $f$ vērtību pēc dotās argumenta vērtības $x_0$. Daudzkārt ir jārisina arī apgrieztais uzdevums: atrast argumenta vērtības, ar kurām funkcija $f$ iegūst norādīto vērtību $y_0$.

Apskatīsim divus piemērus.

1. $f(x)=2x+1$. Lai atrastu argumenta $x$ vērtību, ar kuru $f(x)=y_0$, ir jāatrisina vienādojums $f(x)=y_0$, t.i., $2x+1=y_0$. Atrisinot šo vienādojumu, noskaidrosim, ka ar jebkuru $y_0$ tam ir vienīgais atrisinājums
   $$x=\frac{y_0-1}{2}\/.$$

2. $f(x)=x^2$. Šoreiz vienādojumam $f(x)=y_0$ $(y_0>0)$ ir divi atrisinājumi: $x_1=\sqrt{y_0}$ un $x_2=-\sqrt{y_0}$.

2.18. definīcija. 

Funkciju $f$, kas iegūst katru savu vērtību tikai vienā definīcijas apgabala punktā, nosauksim par apvēršamu funkciju.

Tādējādi $f(x)=2x+1$ ir apvēršama funkcija, bet $f(x)=x^2$ $(x\in\mathbb{R})$ nav apvēršama funkcija.

No apvēršamas funkcijas definīcijas var izdarīt šādu secinājumu: ja funkcija $f$ ir apvēršama un skaitlis $a$ pieder tās vērtību apgabalam $E(f)$, tad vienādojumam $f(x)=a$ ir viens un tikai viens atrisinājums.

Pieņemsim, ka $f$ ir apvēršama funkcija. Jebkuram skaitlim $y_0\in E(f)$ eksistē tikai viena vērtība $x_0\in D(f)$, ka $f(x_0)=y_0$. Izveidojot atbilstību starp katru $y_0$ un $x_0$, iegūsim jaunu funkciju $g$, kuras definīcijas apgabals ir $E(f)$ un vērtību apgabals ir $D(f)$. Piemēram, apvēršamais funkcijai $f(x)=2x+1$ jaunās funkcijas $g$ vērtību brīvi izraudzītajā punktā $y_0$ var izteikt ar formulu

$$g(y_0)=\frac{y_0-1}{2}\/.$$

Izmantojot funkcijas $g$ argumentam parasto apzīmējumu $x$, rakstīsim

$$g(x)=\frac{x-1}{2}\/.$$

2.19. definīcija. 

Funkciju $g$, kas apvēršamās funkcijas $f$ vērtību apgabala katrā punktā $x$ iegūst tādu vērtību $y$, ka $f(y)=x$, nosauksim par funkcijas $f$ apvērsto (inverso) funkciju^2.19.

Tātad apvērsto funkciju $g$ var definēt tikai apvēršamai funkcijai $f$, pie tam $D(g)=E(f)$ un $E(g)=D(f)$. Funkcijas $f$ apvērstā funkcija $g$ ir vienīgā.

No funkcijas $f$ grafika var noteikt tās apvērstās funkcijas $g$ vērtību brīvi izraudzītajā punktā $a$. Šajā gadījumā punkts ar koordinātu $a$ jāizvēlas nevis kā parasti uz abscisu ass, bet gan uz ordinātu ass (2.19. zīm.).

2.19. zīm.

2.20. zīm.

No apvērstās funkcijas definīcijas izriet, ka $g(a)$ ir vienāda ar $b$.

Tādējādi izvēloties citādu koordinātu sistēmu, kurā arguments tiek atlikts uz ordinātu ass, bet funkcijas vērtība uz abscisu ass, var uzskatīt, ka funkcijai $f$ apvērstās funkcijas $g$ grafiks sakrīt ar funkcijas $f$ grafiku parastajā koordinātu sistēmā. Lai attēlotu funkcijas $g$ grafiku parastajā koordinātu sistēmā, jākonstruē funkcijai $f$ grafikam simetrisks grafiks attiecībā pret taisni $y=x$ (2.20. zīm.), jo pret šo taisni ir simetriski punkti $(a;b)$ un $(b;a)$. Tātad funkcijas $f$ apvērstās funkcijas $g$ grafiks ir simetrisks funkcijas $f$ grafikam attiecībā pret taisni $y=x$.

2.1. teorēma. 

[Par apvērstu funkciju monotonai funkcijai].

Ja funkcija $f$ aug (vai dilst) intervālā $I$, tad šī funkcija ir apvēršama. Funkcijas $f$ apvērstā funkcija $g$, kas definēta kopā $f(I)$, arī ir augoša (vai dilstoša).

$\blacktriangleright$ Apskatīsim tikai gadījumu, kad $f$ ir intervālā $I$ augoša funkcija. Vispirms pierādīsim, ka šī funkcija ir apvēršama, t.i., kādu arī neizvēlētos skaitli $a$ no funkcijas $f$ vērtībām, ko tā iegūst, ja $x$ pieder intervālam $I$, šajā intervālā vienādojumam $f(x)=a$ ir vienīgais atrisinājums $x=b$. Pieņemsim, ka intervālā $I$ ir vēl viens tāds skaitlis $c\neq b$, ka
$f(c)=a=f(b)$. Tādā gadījumā $c<b$ vai $c>b$. Funkcija $f$ intervālā $I$ ir augoša, tāpēc $f(c)<f(b)$ vai $f(c)>f(b)$, kas ir pretrunā ar vienādību $f(c)=f(b)$. Tāpēc pieņēmums ir nepareizs un intervālā $I$ skaitlis $b$ ir vienādojuma $f(x)=a$ vienīgā sakne. Tātad $f$ ir apvēršama funkcija. Atliek pierādīt, ka funkcijas $f$ apvērstā funkcija $g$ aug kopā $f(I)$. Pieņemsim, ka $x_1$ un $x_2$ ir brīvi izraudzītas vērtības no kopas $f(I)$, turklāt $x_1<x_2$ un $y_1=g(x_1)$, $y_2=g(x_2)$. Pieņemsim, ka $y_1\geq y_2$. Pēc apvērstās funkcijas definīcijas $x_1=f(y_1)$ un $x_2=f(y_2)$. Ievērojot, ka $f$ ir augoša funkcija un pēc pieņēmuma $y_1\geq y_2$, iegūsim, ka $f(y_1)\geq f(y_2)$, t.i., $x_1\geq x_2$, kas ir pretrunā ar pieņēmumu $x_1<x_2$. Tāpēc atliek secināt, ka $y_1<y_2$, t.i., $g(x_1)<g(x_2)$. Funkcija $g$ aug kopā $f(I)$. $\blacktriangleleft$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.5. Jautājumi Augstāk: 2. FUNKCIJA Iepriekšējais: 2.3.4. Periodiskas funkcijas