nākamais augstāk iepriekšējais saturs Matemātika DU TSC
Nākamais: 4. PARAMETRISKI UZDOTAS FUNKCIJAS UN VEKTORFUNKCIJAS Augstāk: 3. ATVASINĀJUMA LIETOJUMI FUNKCIJU PĒTĪŠANĀ Iepriekšējais: 3.10. Jautājumi

3.11. Vingrinājumi

  1. Pierādīt 3.1. teorēmas sekas.
  2. Pierādīt, ka $ \arctg x+\arcctg x=\frac{\pi}{2}$.
  3. Formulēt un pierādīt intervālā dilstošas funkcijas nepieciešamo nosacījumu.
  4. Formulēt un pierādīt intervālā dilstošas funkcijas pietiekamo nosacījumu.
  5. Lai intervālā $ (a;b)$ diferencējama funkcija $ f$ būtu nedilstoša šajā intervālā, ir nepieciešami un pietiekami, lai visiem $ x\in (a;b)$ izpildītos $ f'(x)\geq 0$. Pierādīt to!
  6. Atrast šādu funkciju monotonitātes intervālus:
    1. $ f(x)=\frac{1}{4}x^4-2x^2+3$;
    2. $ f(x)=x+\frac{1}{x}$;
    3. $ f(x)=x\cdot\ln x$;
    4. $ f(x)=\sqrt[3]{x^2}$.
  7. Pierādīt 3.4. teorēmu minimuma punkta gadījumā.
  8. Pierādīt 3.5. teorēmu gadījumam, kad, argumentam ejot caur $ x_0$, atvasinājums maina zīmi no $ \lq\lq -''$ uz $ \lq\lq +''$.
  9. Pierādīt 3.6. teorēmu gadījumam, kad $ f''(x_0)>0$.
  10. Atrast šādu funkciju ekstrēmus (izmantot gan pirmo, gan otro ekstrēmu noteikšanas kārtulu):
    1. $ f(x)=x^2-6x$;
    2. $ f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^4$;
    3. $ f(x)=\frac{x}{1+x^2}$;
    4. $ f(x)=x^2\cdot e^{-x}$.
  11. Atrast šādu funkciju vismazāko un vislielāko vērtību norādītajā intervālā:
    1. $ f(x)=x^4-8x^2-9,\quad [-1;1]$;
    2. $ f(x)=x^4-8x^2-9,\quad [0;3]$;
    3. $ f(x)=x^3-1,5x^2-6x+1,\quad [-2;0]$;
    4. $ f(x)=x+\sqrt{x},\quad [0;4]$.
  12. Pierādīt, ka no visiem taisnleņķa trijstūriem, kuriem ir dotā garuma hipotenūza, vislielākais laukums ir vienādsānu trijstūrim.
  13. Doto pozitīvo skaitli izteikt kā divu saskaitāmo summu, kuru reizinājums ir vislielākais.
  14. Taisnstūra paralēlskaldņa vaļējas tvertnes tilpumam jābūt $ 13,5$ l. Kā ir jāizvēlas tvertnes lineārie izmēri, lai tās pagatavošanai tiktu izlietots vismazāk materiāla?
  15. Formulēt un pierādīt funkcijas grafika izliekuma pietiekamo nosacījumu.
  16. Atrast šādu funkciju grafiku izliekuma un ieliekuma intervālus:
    1. $ f(x)=2x^4-3x^2+2x+2$;
    2. $ f(x)=\frac{x^2}{x^2-1}$;
    3. $ f(x)=2x^2+\ln x$;
    4. $ f(x)=\sqrt[3]{x}$.
  17. Pierādīt 3.8. teorēmu.
  18. Atrast šādu funkciju grafiku pārliekuma punktus:
    1. $ f(x)=x^4-6x^2+5$;
    2. $ f(x)=\frac{x}{x^2-4}$;
    3. $ f(x)=\ln(1+x^3)$;
    4. $ f(x)=x\cdot\arctg x$.
  19. Atrast šādu funkciju grafiku asimptotas:
    1. $ f(x)=\frac{2x}{x-1}$;
    2. $ f(x)=\frac{x}{2x-1}+x$;
    3. $ f(x)=x\cdot e^{\frac{1}{x}}$;
    4. $ f(x)=\sqrt{1+x^2}-x$.
  20. Izpētīt šādas funkcijas un uzzīmēt to grafikus:
    1. $ f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}$;
    2. $ d(x)=x^4+2x^2+3$;
    3. $ f(x)=2x+\frac{1}{x^2}$;
    4. $ f(x)=x^2\ln x$;
    5. $ f(x)=x^3-6x^2+9x+2$;
    6. $ f(x)=3x^5-5x^3+5$;
    7. $ f(x)=x-3\sqrt[3]{x}$.
  21. Pierādīt nevienādības, pētot funkciju monotonitāti ar atvasinājumu palīdzību:
    1. $ \cos x>1-\frac{x^2}{2}\quad (x\neq 0)$;
    2. $ x>\ln(1+x)\quad (x>0)$;
    3. $ \arcsin x>x\quad (0<x<1)$;
    4. $ e^x>1+x\quad (x\neq 0)$.
nākamais augstāk iepriekšējais saturs Matemātika DU TSC
Nākamais: 4. PARAMETRISKI UZDOTAS FUNKCIJAS UN VEKTORFUNKCIJAS Augstāk: 3. ATVASINĀJUMA LIETOJUMI FUNKCIJU PĒTĪŠANĀ Iepriekšējais: 3.10. Jautājumi

2002-01-21