Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.1.6. Problēmas par peļņas maksimumu atrisinājums Augstāk: 1.1. Brīvais ekstrēms Iepriekšējais: 1.1.4. Stacionārie punkti problēmā par peļņas

1.1.5. Ekstrēma pietiekamie nosacījumi

Dažreiz stacionārā punkta raksturs ir skaidrs no minimuma definīcijas. Piemēram, funkcijai

$$f(x_{1};x_{2})=(x_{1}-1)^{2}+(x_{2}+1)^{2}$$

punkts $(1;-1)$ ir minimuma punkts, jo pārējos punktos funkcija $f$ ir pozitīva. Citos, ne tik acīmredzamos gadījumos, ir vēlams iegūt ekstrēma pazīmi.

Pieņemsim, ka funkcijai $f$ ir nepārtraukti parciālie atvasinājumi pēc $x_{1},\ldots,x_{n}$ līdz otrai kārtai ieskaitot.

1.2. teorēma. 

Ja funkcijas $f$ stacionārajā punktā $z$ tās diferenciālis $d^{2}f(z)> 0$ (t.i., kvadrātiskā forma $d^{2}f(z)$ ir pozitīva), tad punkts $z$ ir funkcijas $f$ (lokālā) minimuma punkts.

$\blacktriangleright$ Funkcijas $f$ pieaugumam punktā $z$ ir spēkā formula (Teilora rinda diferenciālā formā) [7, 195. lpp.]

$$f(x)-f(z)=df(z)+\frac{1}{2}d^{2}f(z)+o\left(\rho^{2}(x,z)\right),$$

kur trešais elements labajā pusē ir augstākas kārtas bezgalīgi mazs lielums salīdzinot ar $\rho^{2}(x;z)$ , ja $x\rightarrow z$. Tā kā saskaņā ar pieņēmumu $z$ ir funkcijas $f(x)$ stacionārs punkts, tad $df(z) = 0$. Tas nozīmē, ka starpības $f(x)-f(z)$ zīme $x$ vērtībām no pietiekami mazas punkta $z$ apkārtnes ir atkarīga no diferenciāļa $d^{2}f(z)$ zīmes. Tāpēc

$$f(x) - f(z)\geq 0,$$

ja punkts $x$ ir pietiekami tuvs $z$ punktam. No minimuma definīcijas seko, ka punkts $z$ ir funkcijas $f$ (lokālā) minimuma punkts. $\blacktriangleleft$

1. secinājums.

Ja funkcijas $f(x)$ stacionārā punktā $z$ diferenciālis

$$d^{2}f(z)< 0,$$

tad $z$ ir funkcijas $f(x)$ (lokālā) maksimuma punkts. Lai to pierādītu, ir pietiekami aplūkot funkciju $-f(x)$, kurai otrās kārtas diferenciālis ir nenegatīvs, un tad pielietot 1.2. teorēmu.

1.2. teorēmas un 1. secinājuma pielietošanai stacionārā punkta rakstura pētīšanā ir nepieciešama prasme rēķināt otrās kārtas diferenciāli dotajā punktā.

Divu argumentu funkcijas $f(x_{1};x_{2})$ otrās kārtas diferenciāli dotajā punktā $z=(z_1;z_2)$ aprēķina šādi:

$$d^2f(z) = \frac{\partial ^2f}{\partial x_1^2 }\Delta x_1^2 + \fra... ... x_1 }\Delta x_2 \Delta x_1 + \frac{\partial ^2f}{\partial x_2^2 }\Delta x_2^2,$$

kur

$$\Delta x_{1}=x_{1}-z_{1},\;\;\Delta x_{2}=x_{2}-z_{2}.$$

Tātad diferenciālis $d^2f(z)$ ir kvadrātiska forma attiecībā pret mainīgajiem $\Delta x_{1}$ un $\Delta x_{2}$. Parciālie atvasinājumi tiek aprēķināti punktā $z$.

Apzīmējot parciālos atvasinājumus:

$$\frac{\partial ^2f}{\partial x_1^2 }=f_{x_1x_1}\/,\;\; \frac{\par... ...x_2x_1 }=f_{x_2 x_1}\/,\;\; \frac{\partial ^2f}{\partial x_2^2 }=f_{x_2 x_2}\/,$$

apskatīsim kvadrātisku matricu

$$A=\left[\begin{array}{cc} f_{x_1 x_1}&f_{x_1 x_2}\ f_{x_2 x_1}&f_{x_2 x_2} \end{array}\right].$$

No matemātiskas analīzes kursa ir zināms, ka jauktie atvasinājumi ir vienādi savā starpā, ja tie ir nepārtraukti [7, 5. nodaļa, § 4], tāpēc

$$\det A = f_{x_1 x_1 } f_{x_2 x_2 } - f_{x_1 x_2 }^2 .$$

No kvadrātisko formu teorijas ir zināms [7, 198. lpp.]:

• ja $\det A > 0$ un $f_{x_1 x_1} > 0$, tad kvadrātiskā forma ir pozitīva;
• ja $\det A > 0$ un $f_{x_1 x_1} < 0$, tad kvadrātiskā forma ir negatīva;
• ja $\det A < 0$, tad kvadrātiskā forma pieņem gan pozitīvas, gan negatīvas vērtības.

Formulēsim divu argumentu funkcijas ekstrēma punktu meklēšanas shēmu:

1. atrast stacionārus punktus, risinot sistēmu (1.1);
2. katrā stacionārā punktā noteikt determinanta $\det A$ zīmi;
3. ja stacionārā punktā $z$ ir spēkā $\det A > 0$ un $f_{x_1 x_1} > 0$, tad $d^{2}f(z)> 0$ un $z$ ir (stingrā) minimuma punkts;
4. ja stacionārajā punktā $z$ ir spēkā $\det A > 0$ un $f_{x_1 x_1} < 0$, tad
   $d^{2}f(z)<0$ un $z$ ir (stingrā) maksimuma punkts;
5. ja stacionārajā punktā $z$ ir spēkā $\det A < 0$, tad $d^{2}f(z)$ pieņem gan pozitīvas, gan negatīvas vērtības kādā punkta $z$ apkārtnē un $z$ nav ekstrēma punkts;
6. ja stacionārajā punktā $z$ ir spēkā $\det A = 0$, tad ir nepieciešama tālāka analīze.

1.7. piezīme. 

6. gadījumā, kad $\det A = 0$, stacionārā punkta $z$ rakstura analīze var būt saistīta ar augstākas kārtas diferenciāļu rēķināšanu, protams, ja funkcijai eksistē attiecīgās kārtas atvasinājumi. Tiešām,

$$f(x)-f(z)=df(z)+\frac{1}{2}d^{2}f(z)+\frac{1}{3!}d^{3}f(z)+ \frac{1}{4!}d^{4}f(z)+\cdots$$

un starpības zīme vienādības kreisajā pusē ir atkarīga no pirmā no nulles atšķirīgā diferenciāļa vienādības labajā pusē.

Apskatīsim dažus piemērus saistībā ar iepriekšējo piezīmi.

1.1. piemērs. 

Apskatīsim funkciju

$$f(x_{1};x_{2})=x_1^3+x_2^3.$$

Punkts $(0;0)$ ir funkcijas $f$ stacionārs punkts, jo šajā punktā diferenciāļi $df$ un $d^{2}f$ ir vienādi ar nulli. Tai pašā laikā

$$d^3f =6\Delta x_1^3+6\Delta x_2^3.$$

Tā kā funkcija $f$ jebkurā punkta $(0;0)$ apkārtnē pieņem abu zīmju vērtības, tad funkcijai $f$ punktā $(0;0)$ ekstrēma nav.

1.2. piemērs. 

Apskatīsim funkciju

$$f(x_{1};x_{2})=x_1^4+ x_2^4.$$

Punkts $(0;0)$ ir funkcijas $f$ stacionārs punkts. Šajā punktā $\det A=12^{2}x_{1}^{2}x_{2}^{2}=0$ un, lai noskaidrotu stacionārā punkta raksturu, ir nepieciešama tālāka pētīšana. Var pārbaudīt, ka $d^{3}f=0$ punktā $(0;0)$, bet

$$d^4f=24\Delta x_1^4 + 24\Delta x_2^4$$

ir pozitīva forma. Tādējādi punkts $(0;0)$ ir funkcijas $f$ minimuma punkts.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.1.6. Problēmas par peļņas maksimumu atrisinājums Augstāk: 1.1. Brīvais ekstrēms Iepriekšējais: 1.1.4. Stacionārie punkti problēmā par peļņas