Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.1.4. Stacionārie punkti problēmā par peļņas Augstāk: 1.1. Brīvais ekstrēms Iepriekšējais: 1.1.2. Definīcijas

1.1.3. Ekstrēma eksistences nepieciešamie nosacījumi

Apskatīsim telpas $R^{n}$ vaļēju apakškopu $X$ (speciālgadījumā $X=\mathbb{R}^{n}$). Pieņemsim, ka funkcijai $f:X\rightarrow\mathbb{R}$ ir lokāls minimums kopas $X$ punktā $z=(z_{1};\ldots;z_{n})$, t.i., $f(x)\geq f(z)$ visiem $x$ no kādas punkta $z$ apkārtnes.

1.1. teorēma. 

Ja funkcijai $f$ kopā $X$ eksistē nepārtraukti pirmās kārtas parciālie atvasinājumi pēc visiem $x_{i}$, tad funkcijas $f$ minimuma punktā $z$ funkcijas $f$ diferenciālis ir vienāds ar nulli.

$\blacktriangleright$ Funkcijas $f$ pieaugumam punktā $z$ ir spēkā formula [7, 179. lpp.]

$$f(x)-f(z) =df(z)+o(\rho (x,z)).$$

Abi saskaitāmie labajā pusē tiecas uz nulli, ja $x\rightarrow z$, bet otrais saskaitāmais ir bezgalīgi mazs augstākas kārtas lielums nekā $\rho (x,z)$, t.i.,

$$\frac{o(\rho(x,z))}{\rho (x,z)}\rightarrow 0,\; \;x\rightarrow z.$$

Tātad starpības $f(x)-f(z)$ zīmi, kad $x$ ir pietiekami tuvs $z$, nosaka diferenciāļa $df(z)$ zīme.

Pieņemsim, ka kāds parciālais atvasinājums punktā $z$ nav vienāds ar nulli. Noteiktības labad pieņemsim, ka $\frac{\partial f}{\partial x_1}(z)>0$. Aplūkosim punktu $x=(x_{1};z_{2};\ldots;z_{n})$, kurā $x_{1}<z_{1}$. Ja $x_{1}$ ir pietiekami tuvs $z_{1}$, tad

$$f(x)-f(z)=\frac{\partial f}{\partial x_1}(z)(x_1-z_1)+o(\rho (x,z))< 0,$$

kas ir pretrunā nosacījumam par lokālo minimumu punktā $z$.

Līdzīgi var pierādīt, ka pārējie parciālie atvasinājumi punktā $z$ arī ir vienādi ar nulli.

Visu parciālo atvasinājumu vienādība ar nulli punktā $z$ nozīmē, ka diferenciālis $df(z)$ ir vienāds ar nulli. $\blacktriangleleft$

1.4. piezīme. 

Pierādītais apgalvojums praktiski nozīmē to, ka, lai atrastu funkcijas $f$ minimuma punktus, ir jāatrisina vienādojumu sistēma

$$\frac{\partial f}{\partial x_i}=0\;\;(i = 1,\ldots,n).$$ (1.1)

1.5. piezīme. 

Maksimuma punktu koordinātām arī ir jāapmierina sistēma (1.1), jo maksimuma problēmu var reducēt uz minimuma problēmu, mainot funkcijas $f$ zīmi uz pretējo. Tātad, lai funkcijai $f$ punktā $z$ eksistētu ekstrēms, ir nepieciešams, lai $z =(z_{1};z_{2};\ldots;z_{n})$ apmierinātu sistēmu (1.1).

Sistēmas (1.1) atrisinājumus sauc par funkcijas $f$ stacionāriem punktiem.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.1.4. Stacionārie punkti problēmā par peļņas Augstāk: 1.1. Brīvais ekstrēms Iepriekšējais: 1.1.2. Definīcijas