Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.1.3. Ekstrēma eksistences nepieciešamie nosacījumi Augstāk: 1.1. Brīvais ekstrēms Iepriekšējais: 1.1.1. Problēma par peļņas maksimumu

1.1.2. Definīcijas

Atgādināsim, ka par funkciju $f:X\rightarrow Y$ sauc attēlojumu, kurā katram elementam $x\in X$ atbilst pilnīgi noteikts elements $y\in Y$, kuru apzīmē ar $f(x)$ un sauc par elementa $x$ attēlu attēlojumā $f$. Speciālgadījumā $X$ un $Y$ var būt viena un tā pati kopa. Aktuāls ir gadījums, kad kopa $X$ ir vienāda ar Eiklīda telpu $\mathbb{R}^{n}$ vai kādu tās apakškopu, bet kopa $Y$ ir vienāda ar reālo skaitļu kopu $\mathbb{R}$.

Telpas $\mathbb{R}^{n}$ elementus $x=(x_{1};\ldots;x_{n})$ sauc arī par šīs telpas punktiem. Ja $x=(x_{1};\ldots;x_{n})$, tad reālos skaitļus $x_i$ $(i=1,2,\ldots,n)$ sauc par punkta $x$ koordinātām. Gadījumos, kad $n = 2$ vai $n=3$, telpas $\mathbb{R}^{n}$ punktu var viegli attēlot ģeometriski.

Par attālumu starp telpas $\mathbb{R}^{n}$ punktiem $x=(x_{1};\ldots;x_{n})$ un $y=(y_{1};\ldots;y_{n})$ sauc lielumu

$$\rho(x;y) =\sqrt{\sum\limits_{i = 1}^n{(x_i - y_i )^2}}.$$

Par vaļēju lodi ar centru punktā $x\in\mathbb{R}^n$ un rādiusu $\delta>0$ sauc telpas $\mathbb{R}^n$ apakškopu $U_\delta(x)$, kas sastāv no visiem tiem un tikai tiem punktiem $y\in\mathbb{R}^n$, kuru attālums $\rho(x,y)$ līdz punktam $x$ ir mazāks nekā skaitlis $\delta$, t.i.,

$$U_{\delta}(x)=\{y\in X:\;\rho(x,y)<\delta\}.$$

No ģeometriskā viedokļa, ja $n = 2$, tad $U_{\delta}(x)$ ir riņķis ar centru dotajā punktā $x$ un rādiusu $\delta$, bet, ja $n=3$, tad $U_{\delta}(x)$ ir lode ar centru dotajā punktā $x$ un rādiusu $\delta$.

Par punkta $x\in\mathbb{R}^n$ apkārtni sauc jebkuru telpas $\mathbb{R}^n$ apakškopu, kas satur vismaz vienu vaļēju lodi $U_{\delta}(x)$. Protams, vaļēja lode $U_{\delta}(x)$ arī ir punkta $x$ apkārtne.

Punktu $x\in\mathbb{R}^n$ sauc par kopas $X\subset\mathbb{R}^n$ iekšēju punktu, ja eksistē šī punkta apkārtne, kas iekļaujas kopā $X$ (skat. 1.1. zīm.).

1.1. zīm. Punkts $x$ ir kopas $X\subset\mathbb{R}^{2}$ iekšējais punkts, jo $U_{\varepsilon}(x)\subset X$. Savukārt punkts $z$ nav kopas $X$ iekšējais punkts, jo jebkuram pozitīvam $\delta$ punkta $z$ apkārtne $U_{\delta}(z)$ satur punktus, kuri nepieder kopai $X$.

1.1. piezīme. 

Gadījumā, kad $X=\mathbb{R}^{n}$, jebkurš punkts $x\in X$ ir kopas $X$ iekšējais punkts.

Kopu $X\subset\mathbb{R}^n$ sauc par vaļēju kopu, ja jebkurš tās punkts ir iekšējais.

Ja $\mathbb{R}^{n}\setminus X$ (- kopas $X$ papildkopa telpā $\mathbb{R}^{n}$) ir vaļēja kopa, tad kopu $X$ sauc par slēgtu kopu.

1.2. piezīme. 

Meklējot funkciju ekstrēmus (minimumus un maksimumus), jāizšķir divi svarīgi gadījumi, proti, vai ekstrēms tiek meklēts vaļējā vai slēgtā kopā. Tas ir atkarīgs no problēmas formulējuma.

Saka, ka kopā $X\subset\mathbb{R}^n$ definētai funkcijai $f$ ir lokāls minimums punktā $z\in X$, ja eksistē tāda punkta $z$ apkārtne, ka $f(x)\geq f(z)$ visiem $x\in X$ no šīs apkārtnes. Ja pie tam $f(x)>f(z)$, kad $x\not=z$ , tad saka, ka minimums ir stingrs.

1.3. piezīme. 

Funkcijai var būt vairāki (un pat bezgalīgi daudz) lokālo minimumu (skat. 1.2. zīm.).

1.2. zīm. Divu argumentu funkcijai $x_3=f(x_1;x_2)$, kuras grafiku iegūst, rotējot funkcijas $x_3=\varphi(x_2)$ grafiku ap vertikālo asi $Ox_3$, ir lokāls minimums jebkurā riņķa līnijas $\left\{\begin{array}{rcl} x_{1}^{2}+x_{2}^{2}&=&R^{2}, \\ x_3&=&a, \end{array}\right.$ punktā, kā arī koordinātu sākumpunktā.

Saka, ka kopā $X\subset\mathbb{R}^n$ definētai funkcijai $x\mapsto f(x)$ ir globāls minimums punktā $x_{0}\in X$, ja $f(x)\geq f(x_{0})$ visiem $x$ no kopas $X$.

Analoģiski var definēt funkcijas lokālo maksimumu un globālo maksimumu.

Par funkcijas ekstrēmu sauc jebkuru šīs funkcijas maksimumu vai minimumu (lokālo un globālo) .

Literatūrā bieži vien aplūko tikai minimuma gadījumu, jo funkcijas $f(x)$ maksimuma atrašanas problēma

$$f(x)\longrightarrow\;max$$

ir ekvivalenta funkcijas $-f(x)$ minimuma atrašanas problēmai

$$-f(x)\longrightarrow\;min.$$

Piemēram, kopā $X=\mathbb{R}^n$ definētai funkcijai $f(x_{1};x_{2})=-x_1^2-x_2^2$ punkts $(0;0)$ ir globālā maksimuma punkts, bet šajā kopā definētai funkcijai $-f(x_{1};x_{2})=x_1^2+x_2^2$ punkts $(0;0)$ ir globālā minimuma punkts.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.1.3. Ekstrēma eksistences nepieciešamie nosacījumi Augstāk: 1.1. Brīvais ekstrēms Iepriekšējais: 1.1.1. Problēma par peļņas maksimumu