Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.4. Intervāli kopā Augstāk: 1. REĀLO SKAITĻU KOPA Iepriekšējais: 1.2. Reālā skaitļa modulis

1.3. Reālo skaitļu kopas $\mathbb{R}$ ierobežotas kopas

1.2. definīcija. 

Skaitli $a$ nosauksim par kopas $E\subset\mathbb{R}$ apakšējo robežu, ja visiem $x\in E:a\leq x$.

1.1. piezme. 

Ja eksistē tāds $y\in E$, kuram $a>y$, tad $a$ nav kopas $E$ apakšējā robeža.

1.3. definīcija. 

Kopu $E\subset\mathbb{R}$ nosauksim par ierobežotu no apakšas, ja tai eksistē apakšējā robeža. (Pretējā gadījumā kopu nosauksim par neierobežotu no apakšas).

1.2. piezme. 

Analoģiski var definēt kopas augšējo robežu un ierobežotu no augšas kopu.

Piemēram, visu naturālo^1.12 skaitļu kopa $\mathbb{N}$ ir ierobežota no apakšas, bet nav ierobežota no augšas. Visu veselo skaitļu kopa $\mathbb{Z}$ nav ierobežota ne no augšas, ne no apakšas.

1.3. piezme. 

Tukšo kopu uzskatīsim par ierobežotu gan no augšas, gan no apakšas.

1.4. definīcija. 

Kopu $E\subset\mathbb{R}$ nosauksim par ierobežotu, ja tā ir ierobežota gan no augšas, gan no apakšas.

Piemēram, tukšā kopa ir ierobežota, bet visu veselo skaitļu kopa $\mathbb{Z}$, visu naturālo skaitļu kopa $\mathbb{N}$ nav ierobežotas kopas.

Viegli pamatot, ka kopa $E$ ir ierobežota tad un tikai tad, kad ir ierobežota no augšas kopa, kas sastādīta no tās elementu moduļiem. (Pamatot to).

1.5. definīcija. 

Par kopas $E\subset\mathbb{R}$ apakšējo slieksni nosauksim vislielāko starp šīs kopas apakšējām robežām un apzīmēsim $\alpha=\inf E$ (lasa infīms^1.13).

Analoģiski var definēt kopas augšējo slieksni $\beta=\sup E$ kā kopas $E$ vismazāko augšējo robežu (lasa suprems^1.14).

1.1. teorēma. 

^1.15 [Par ierobežotas kopas augšējā sliekšņa eksistenci]

Katrai netukšai un ierobežotai no augšas kopai $E\subset\mathbb{R}$ eksistē augšējais slieksnis.

$\blacktriangleright$ Tā kā kopa $E$ ir ierobežota no augšas, tad tai eksistē augšējā robeža. Apzīmēsim ar $F$ kopas $E$ visu augšējo robežu kopu. Acīmredzot, $F\neq\emptyset$ un $E\leq F$. Saskaņā ar $\mathbb{R}$ nepārtrauktības Dedekinda aksiomu eksistē tāds skaitlis $c$, ka $E\leq c\leq F$. Tā kā $E\leq c$, tad $c$ ir kopas $E$ augšējā robeža, bet tā kā $c\leq F$, tad $c$ ir vismazākā starp kopas $E$ augšējām robežām. Seko, ka $c=\sup E$. $\blacktriangleleft$

Analoģiski var pierādīt, ka katrai netukšai un ierobežotai no apakšas kopai $E\subset\mathbb{R}$ eksistē apakšējais slieksnis. Tātad, ja kopa $E\subset\mathbb{R}$ ir ierobežota (ierobežota gan no apakšas, gan no augšas), tad tai eksistē gan apakšējais, gan augšējais slieksnis.

1.4. piezme. 

Kopas sliekšņi var piederēt un var nepiederēt šai kopai.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.4. Intervāli kopā Augstāk: 1. REĀLO SKAITĻU KOPA Iepriekšējais: 1.2. Reālā skaitļa modulis