Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.3. Reālo skaitļu kopas R ierobežotas kopas Augstāk: 1. REĀLO SKAITĻU KOPA Iepriekšējais: 1.1. Reālo skaitļu kopa un tās

1.2. Reālā skaitļa modulis

Kopa $\mathbb{R}$ ir lineāri sakārtota kopa, t.i., apgalvojumi $a\leq b$ vai $b\leq a$ ir spēkā jebkuriem skaitļiem $a$ un $b$. Ar $\max (a;b)$ sapratīsim lielāko (bet ar $\min(a;b)$ - mazāko) no šiem skaitļiem. (Tajā gadījumā, kad šie skaitļi ir vienādi, ar $\max (a;b)$ vai $\min(a;b)$ sapratīsim to kopīgo vērtību).

Acīmredzami, $\max(a;b)<c$ tad un tikai tad, kad $a<c$ un $b<c$.

1.1. definīcija. ^1.9

Par reālā skaitļa $a$ moduli^1.10 (absolūto vērtību) nosauksim $\max(a;-a)$ un apzīmēsim $\vert a\vert$.

Seko, ka

$$\vert a\vert=\left\{\begin{array}{ccc} a, & \text{ja} & a>0, \\ 0, & \text{ja} & a=0, \\ -a, & \text{ja} & a<0. \\ \end{array}\right.$$

Tā kā $\max(a;-a)=\vert a\vert$, tad $a\leq\vert a\vert$ un $-a\leq\vert a\vert$. No tā seko, ka
$-\vert a\vert\leq a\leq\vert a\vert$.

Moduļa īpašības

1. $\vert a+b\vert\leq\vert a\vert+\vert b\vert$.
   $\blacktriangleright$ Tā kā $\pm a\leq\vert a\vert$ un $\pm b\leq\vert b\vert$, tad $\pm(a+b)\leq\vert a\vert+\vert b\vert$. Tātad
   $$\vert a+b\vert\leq\vert a\vert+\vert b\vert\/.\blacktriangleleft$$

   Piezīme.

   Ar matemātiskās indukcijas^1.11 metodi var pamatot, ka

   $$\vert a_1+a_2+\cdots +a_n\vert\leq\vert a_1\vert+\vert a_2\vert+\cdots+ \vert a_n\vert\/.$$

2. $\vert-a\vert=\vert a\vert$.
   $$\blacktriangleright \vert-a\vert=\max\bigl(-a;-(-a)\bigr)=\max(-a;a)=\max(a;-a)=\vert a\vert.\blacktriangleleft$$

   Piezīme.

   Tātad $\vert a-b\vert=\vert b-a\vert$. Skaitli $\vert a-b\vert$ sauc par attālumu starp skaitļiem $a$ un $b$.

3. $\bigl\vert\vert a\vert-\vert b\vert\bigr\vert\leq\vert a-b\vert$.
   $\blacktriangleright$ Acīmredzami, $a=(a-b)+b$ un $b=(b-a)+a$. Saskaņā ar 1. īpašību $\vert a\vert\leq\vert a-b\vert+\vert b\vert$ un $\vert b\vert\leq\vert b-a\vert+\vert a\vert$. Seko, ka $\vert a\vert-\vert b\vert\leq\vert a-b\vert$ un $\vert b\vert-\vert a\vert\leq\vert b-a\vert$, t.i.,
   $$\left\{\begin{array}{l} \vert a\vert-\vert b\vert\leq\vert a-b\vert, \\ -(\vert a\vert-\vert b\vert)\leq\vert a-b\vert. \\ \end{array}\right.$$
   Tātad
   $$\bigl\vert\vert a\vert-\vert b\vert\bigr\vert\leq\vert a-b\vert.\blacktriangleleft$$

4. $\vert a\vert<c$ tad un tikai tad, kad $-c<a<c$.
   $\blacktriangleright$ Pirmkārt, $\vert a\vert<c$ nozīmē, ka $a<c$ un $-a<c$. Tātad
   $$\left\{\begin{array}{c} a<c, \\ a>-c \\ \end{array}\right.$$
   jeb
   $$-c<a<c\/.$$
   Otrkārt, $-c<a<c$ nozīmē, ka $a<c$ un $-a<c$. Tātad $\vert a\vert<c$. $\blacktriangleleft$

   Piezīme.

   Gadījumus $\vert a\vert\leq c$, $\vert a\vert>c$, $\vert a\vert\geq c$ formulēt un pamatot patstāvīgi.

5. $\vert a\cdot b\vert=\vert a\vert\cdot\vert b\vert$.
   $\blacktriangleright$ Reizinājums $\vert a\vert\cdot\vert b\vert=\max(a;-a)\cdot\max(b;-b)$ būs vienāds ar $ab$ vai $-ab$. Tā kā $\vert a\vert\cdot\vert b\vert\geq 0$, tad $\vert a\vert\cdot\vert b\vert=\max(ab;-ab)=\vert ab\vert$. $\blacktriangleleft$

   Piezīme.

   Ar matemātiskās indukcijas metodi var pamatot, ka

   $$\vert a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n\vert=\vert a_1\vert\cdot\vert a_2\vert\cdot\ldots\cdot\vert a_n\vert\/.$$

6. $\left\vert\frac{a}{b}\right\vert=\frac{\vert a\vert}{\vert b\vert}\quad (b\neq 0)$.
   $\blacktriangleright$ Acīmredzami, $a=\frac{a}{b}\cdot b$. Saskaņā ar 5. īpašību $\vert a\vert=\left\vert\frac{a}{b}\right\vert\cdot\vert b\vert$. Tātad
   $$\left\vert\frac{a}{b}\right\vert=\frac{\vert a\vert}{\vert b\vert}\/.\blacktriangleleft$$

   Piezīme.

   Ar tiešo pārbaudi var pārliecināties, ka

   $$\max(a;b)=\frac{a+b+\vert a-b\vert}{2},$$

   $$\min(a;b)=\frac{a+b-\vert a-b\vert}{2}.$$

   
   

Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.3. Reālo skaitļu kopas R ierobežotas kopas Augstāk: 1. REĀLO SKAITĻU KOPA Iepriekšējais: 1.1. Reālo skaitļu kopa un tās