Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.2. Reālā skaitļa modulis Augstāk: 1. REĀLO SKAITĻU KOPA Iepriekšējais: 1. REĀLO SKAITĻU KOPA

1.1. Reālo skaitļu kopa $\mathbb{R}$ un tās ģeometriskā
interpretācija

Matemātiskās analīzes pamatu veido reālo^1.1 skaitļu kopa ar tajā definētām algebriskām darbībām un kārtības sakarībām. Visas šīs darbības un sakarības var novest uz saskaitīšanu, reizināšanu un sakarību ``mazāks'' ($<$). To īpašības var iegūt no neliela skaita pamatīpašībām, kuras tiek pieņemtas par aksiomām^1.2. Matemātiskai analīzei raksturīga ir tikai viena no šīm aksiomām - nepārtrauktības aksioma. Pārējām aksiomām ir tīri algebrisks saturs un tās kopumā izsaka, ka $\mathbb{R}$ ir sakārtots lauks.

$\mathbb{R}$ nepārtrauktības aksioma^1.3.

Jebkurām divām netukšām reālo skaitļu kopas $\mathbb{R}$ apakškopām $A$ un $B$, kurām kopa $A$ atrodas pa kreisi no kopas $B$^1.4 ($A\leq B$), eksistē vismaz viens tāds skaitlis $c$, kas atdala šīs kopas^1.5 ( $A\leq c\leq B$).

No šīs aksiomas izriet virkne svarīgu apgalvojumu, ar kuriem iepazīsimies turpmāk.

Reāli skaitļi kalpo, pirmkārt, lielumu mērīšanai, piemēram, garumu mērīšanai. Izvēloties mērogu (t.i., nogriezni, kura garumu uzskata vienādu ar vienu), katra nogriežņa garumu varēs raksturot ar pilnīgi noteiktu pozitīvu skaitli.

Ģeometrijā^1.6 pieņem arī pretējo apgalvojumu: katrs pozitīvs skaitlis izsaka kāda nogriežņa garumu. No šī apgalvojuma arī izriet reālo skaitļu ģeometriskā interpretācija: reālie skaitļi kā koordinātu taisnes^1.7 punkti. Tātad starp visu reālo skaitļu kopu $\mathbb{R}$ un koordinātu taisnes punktu kopu pastāv savstarpēji viennozīmīga atbilstība, t.i.,

1. katram skaitlim viennozīmīgi atbilst taisnes noteikts punkts;
2. dažādiem skaitļiem atbilst dažādi punkti;
3. taisnes katrs punkts atbilst kādam skaitlim.

Pateicoties tam, uz reālo skaitļu kopu $\mathbb{R}$ tiek pārnesta ģeometriskā terminoloģija, piemēram, $\mathbb{R}$ sauc par skaitļu taisni^1.8, bet $\mathbb{R}$ elementus - par punktiem.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.2. Reālā skaitļa modulis Augstāk: 1. REĀLO SKAITĻU KOPA Iepriekšējais: 1. REĀLO SKAITĻU KOPA