Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.1.3. Skaitļu virkņu bezgalīgas robežas Augstāk: 3.1. Skaitļu virknes robeža Iepriekšējais: 3.1.1. Konverģenta skaitļu virkne

3.1.2. Bernulli nevienādība

3.2. teorēma. 

Visiem naturāliem skaitļiem $n$ un visiem $x\geq -1$ izpildās Bernulli^3.4 nevienādība

$$\boxed{(1+x)^n\geq 1+nx.}$$

$\blacktriangleright$ Pierādīsim šo nevienādību, izmantojot matemātiskās indukcijas metodi.

Acīmredzami, pie $n=1$ sakarība izpildās, pie tam iegūsim vienādību $1+x=1+x$.

Pieņemsim, ka minētā sakarība ir spēkā pie $n=k$, t.i., visiem $x\geq -1$ izpildās nevienādība

$$(1+x)^k\geq 1+kx\/.$$

Pareizināsim šīs nevienādības abas puses ar $1+x\geq 0$:

$$(1+x)^{k+1}\geq(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx^2\geq 1+(k+1)x\/.$$

Iegūtā nevienādība

$$(1+x)^{k+1}\geq 1+(k+1)x$$

nozīmē, ka teorēmā minētā sakarība ir spēkā pie $n=k+1$. Saskaņā ar matemātiskās indukcijas metodi Bernulli nevienādība ir pierādīta. $\blacktriangleleft$

Acīmredzami, tikai tajos gadījumos, kad $n=1$ vai $x=0$, iegūsim vienādību.

Izmantojot Bernulli nevienādību, pierādīsim, ka $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a}=1$ $(a>0)$.

1. Izvēlēsimies $a>1$ un naturālu skaitli $n>\frac{a-1}{\varepsilon}$, kur $\varepsilon$ ir jebkurš pozitīvs skaitlis. No Bernulli nevienādības un nevienādības $n>\frac{a-1}{\varepsilon}$ iegūsim, ka
   $$(1+\varepsilon)^n\geq 1+n\varepsilon>a\/.$$
   No kurienes
   $$0<\sqrt[n]{a}<1+\varepsilon\/.$$
   Tātad
   $$\left\vert\sqrt[n]{a}-1\right\vert<\varepsilon\/.$$
   Tas nozīmē, ka
   $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a}=1\/.$$

2. Izvēlēsimies $0<a<1$ un apzīmēsim $a=\frac{1}{a_1}$, kur $a_1>1$. Tad
   $$\left\vert\sqrt[n]{a}-1\right\vert=\left\vert\frac{1}{\sqrt[n]{a_... ...\sqrt[n]{a_1}-1}{\sqrt[n]{a_1}}\right\vert<\left\vert\sqrt[n]{a_1}-1\right\vert$$
   (jo $\sqrt[n]{a_1}>1$). Saskaņā ar 1. gadījumu pietiekoši lieliem $n$ izpildīsies nevienādība
   $$\left\vert\sqrt[n]{a_1}-1\right\vert<\varepsilon\/.$$
   Tāpēc arī
   $$\left\vert\sqrt[n]{a}-1\right\vert<\varepsilon\/.$$
   Tas nozīmē, ka
   $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a}=1\/.$$

3. Izvēlēsimies $a=1$. Šoreiz $\sqrt[n]{a}=1$ un
   $$\vert\sqrt[n]{a}-1\vert=0<\varepsilon\/.$$
   Tas nozīmē, ka
   $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a}=1\/.$$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.1.3. Skaitļu virkņu bezgalīgas robežas Augstāk: 3.1. Skaitļu virknes robeža Iepriekšējais: 3.1.1. Konverģenta skaitļu virkne