Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.1.2. Bernulli nevienādība Augstāk: 3.1. Skaitļu virknes robeža Iepriekšējais: 3.1. Skaitļu virknes robeža

3.1.1. Konverģenta skaitļu virkne

3.1. definīcija. 

Skaitli $a$ nosauksim par virknes $(a_n)$ robežu, ja jebkuram $\varepsilon>0$ eksistē tāds naturāls skaitlis $N$ (atkarīgs no $\varepsilon$), ka visiem $n>N$ izpildās nevienādība

$$\vert a_n-a\vert<\varepsilon\/.$$

Tādos gadījumos teiksim, ka virkne $(a_n)$ konverģē^3.1 uz $a$ un rakstīsim $a=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$ (skat.^3.2) vai $a_n\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{\;}a$. Nevienādība $\vert a_n-a\vert<\varepsilon$ ir līdzvērtīga nevienādībām $a-\varepsilon<a_n<a+\varepsilon$. Tas nozīmē, ka visiem $n>N$ $a_n$ pieder punkta $a$ $\varepsilon$ - apkārtnei, t.i.,

$$a_n\in U(a;\varepsilon)=(a-\varepsilon;a+\varepsilon)\/.$$

Ārpus šīs apkārtnes atrodas tikai galīgs skaits virknes locekļu (3.1. zīm.). Šis numurs $N$ ir atkarīgs no apkārtnes rādiusa $\varepsilon$.

3.1. zīm.

Apskatīsim dažus piemērus.

1. $a_n=\frac{1}{n}$. Virkne konverģē un tās robeža $a=0$, jo visiem $n>\frac{1}{\varepsilon}$ izpildīsies nevienādība
   $$\vert a_n-a\vert=\left\vert\frac{1}{n}-0\right\vert=\frac{1}{n}<\varepsilon\/.$$
   Tāpēc par $N$ var paņemt skaitļa $\frac{1}{\varepsilon}$ veselo daļu $\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]$. Tagad visiem $n>N$, kur $N=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]$, izpildīsies nevienādība $\vert a_n-a\vert<\varepsilon$. Tātad $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=a$, t.i., $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0$. Ja izvēlēsimies, piemēram, $\varepsilon=\frac{1}{2}$, tad $N=2$ un, sākot ar $a_3$, visi šīs virknes locekļi atradīsies intervāla $\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$ iekšienē (3.2. zīm.).

   

   3.2. zīm.

2. $a_n=1+\frac{1+(-1)^n}{n+2}$. Virkne konverģē un tās robeža $a=1$, jo paņemot $n>\frac{2}{\varepsilon}-2$, izpildīsies nevienādība
   $$\vert a_n-a\vert=\frac{1+(-1)^n}{n+2}<\frac{2}{n+2}<\varepsilon\/.$$
   Tāpēc visiem
   $$n>N=\max\left(\left[\frac{2}{\varepsilon}-2\right];1\right)$$
   izpildīsies nevienādība $\vert a_n-a\vert<\varepsilon$. Tātad $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=a$, t.i.,
   $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1+(-1)^n}{n+2}\right)=1\/.$$

3. $a_n=(-1)^n$. Ja pieņemtu, ka virkne konverģē un skaitlis $a$ ir tās robeža, tad, piemēram, skaitlim $\varepsilon=\frac{1}{2}$ varēs sameklēt tādu $N$, ka visiem $n$ un $m$ lielākiem par $N$ vienlaicīgi izpildīsies nevienādības
   $$\vert a_n-a\vert<\frac{1}{2},\quad \vert a_m-a\vert<\frac{1}{2}\/.$$
   Tad
   $$\vert a_n-a_m\vert\leq \vert a_n-a\vert+\vert a_m-a\vert<\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\/.$$
   Ieguvām pretunu, jo starpība $\vert a_n-a_m\vert$ ir 0 vai $2$, bet mēs esam ieguvuši, ka $\vert a_n-a_m\vert<1$. Tātad $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$ neeksistē, un tāpēc virkne nav konverģenta. Turpmāk šādas virknes nosauksim par diverģentām^3.3 virknēm.

3.1. teorēma. 

Konverģenta virkne ir ierobežota.

$\blacktriangleright$ Apskatīsim konverģentu virkni $(a_n)$. Tad eksistē skaitlis $a$, kur $a=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$. Saskaņā ar virknes robežas definīciju jebkuram $\varepsilon>0$, piemēram, $\varepsilon=1$ eksistē tāds naturāls skaitlis $N$, ka visiem $n>N$ izpildīsies nevienādība

$$\vert a_n-a\vert<1\/,$$

t.i.,

$$a-1<a_n<a+1\/.$$

Virkne ir ierobežota, jo visiem $n>N$ izpildās nevienādība $\vert a_n\vert\leq A$, kur

$$A=\max\left(\vert a_1\vert;\ldots;\vert a_N\vert;\vert a-1\vert;\vert a+1\vert\right)\/.\;\blacktriangleleft$$

Acīmredzami, ka šai teorēmai apgrieztā teorēma nav spēkā. Piemēram, $a_n=(-1)^n$ ir ierobežota, bet nav konverģenta (tātad ir diverģenta) virkne.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.1.2. Bernulli nevienādība Augstāk: 3.1. Skaitļu virknes robeža Iepriekšējais: 3.1. Skaitļu virknes robeža