Matemātika
DU TSC
Nākamais: 3.7. Augstāku kārtu atvasinājumi
Augstāk: 3. VAIRĀKU ARGUMENTU DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS
Iepriekšējais: 3.5. Saliktas funkcijas diferencēšana
Apskata punkta
apkārtnē definētu funkciju
un staru
ar sākumu punktā
. Uz stara
punkta
apkārtnē izvēlas punktu
(3.3. zīm.).
-
3.5. definīcija.
- Ja attiecībai
,
kur
- nogriežņa
garums, eksistē robeža,
kad
, tad šo robežu sauc par funkcijas
atvasinājumu punktā
norādītajā virzienā
un
apzīmē
, tādējādi
.
-
3.6. piezīme.
- Parasti uz stara izvēlas kādu vektoru
, kura virziens sakrīt ar šī stara virzienu.
- Acīmredzami
ir funkcijas
atvasinājums
ass pozitīvajā virzienā, bet
-
ass pozitīvajā virzienā.
- Atvasinājums
raksturo
funkcijas
izmaiņas ātrumu punktā
virzienā
.
- Turpmāk var uzskatīt, ka
- vienības
vektors, tāpēc tā koordinātas ir
un
,
kur
- leņķi, kurus veido
ar
un
asu pozitīvajiem virzieniem (3.3. zīm.). Acīmredzami
, tāpēc
un
.
-
3.6. teorēma.
- Ja funkcijai
punktā
eksistē nepārtraukti parciālie atvasinājumi, tad
tai eksistē šajā punktā atvasinājums
jebkurā virzienā
,
pie tam
Saskaņā ar punktā diferencējamas funkcijas
pietiekamo nosacījumu funkcija
diferencējama punktā
. Tāpēc
kur
- bezgalīgi mazas
funkcijas, kad
un
.
Iegūst, ka
kur
,
. Tāpēc
Acīmredzami, ja
, tad arī
un
. Tāpēc eksistē
Tādējādi eksistē
.
Apskata vektorus
un
. Šo vektoru
skalārais reizinājums
acīmredzami ir
. Tādējādi
. Šo
vektoru skalāro reizinājumu var uzrakstīt arī citā formā -
vektoriālajā formā:
, kur
- leņķis starp vektoriem
un
. Šo vektoru skalārais reizinājums sasniedz
maksimālo vērtību, ja
, t.i., ja
. Seko,
ka funkcijai
vislielākais izmaiņas ātrums ir virzienā
.
-
3.6. definīcija.
- Vektoru
, kas raksturo funkcijas
vislielākās izmaiņas ātrumu punktā
, sauc
par šīs funkcijas gradientu3.1 punktā
un apzīmē
jeb
. Tādējādi
un
-
3.7. piezīme.
- Triju argumentu funkcijai
kur
- leņķi atbilstoši ar asīm
,
.
Matemātika
DU TSC
Nākamais: 3.7. Augstāku kārtu atvasinājumi
Augstāk: 3. VAIRĀKU ARGUMENTU DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS
Iepriekšējais: 3.5. Saliktas funkcijas diferencēšana
2002-06-21