Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.7. Augstāku kārtu atvasinājumi Augstāk: 3. VAIRĀKU ARGUMENTU DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 3.5. Saliktas funkcijas diferencēšana

3.6. Atvasinājums norādītajā virzienā. Gradients

Apskata punkta $P_0(x_0,y_0)$ apkārtnē definētu funkciju $f(x,y)$ un staru $\ell$ ar sākumu punktā $P_0$. Uz stara $\ell$ punkta $P_0$ apkārtnē izvēlas punktu $P(x,y)$ (3.3. zīm.).

3.3. zīm.

3.5. definīcija. 

Ja attiecībai $\frac{f(P)-f(P_0)}{\Delta\ell}$, kur $\Delta\ell$ - nogriežņa $PP_0$ garums, eksistē robeža, kad $\Delta\ell\rightarrow 0$, tad šo robežu sauc par funkcijas $z~=~f(x,y)$ atvasinājumu punktā $P_0$ norādītajā virzienā $\ell$ un apzīmē $\frac{\partial z}{\partial\ell}$, tādējādi $\frac{\partial z}{\partial\ell}=\lim\limits_{\Delta\ell\rightarrow 0} \frac{f(P)-f(P_0)}{\Delta\ell}$.

3.6. piezīme. 

Parasti uz stara izvēlas kādu vektoru $\overrightarrow{\ell}$, kura virziens sakrīt ar šī stara virzienu.

1. Acīmredzami $\frac{\partial z}{\partial x}$ ir funkcijas $z=f(x,y)$ atvasinājums $Ox$ ass pozitīvajā virzienā, bet $\frac{\partial z}{\partial y}$ - $Oy$ ass pozitīvajā virzienā.
2. Atvasinājums $\frac{\partial z}{\partial\ell}$ raksturo funkcijas $z=f(x,y)$ izmaiņas ātrumu punktā $P_0(x_0,y_0)$ virzienā $\overrightarrow{\ell}$.
3. Turpmāk var uzskatīt, ka $\overrightarrow{\ell}$ - vienības vektors, tāpēc tā koordinātas ir $\cos\alpha$ un $\cos\beta$, kur $\alpha,\beta$ - leņķi, kurus veido $\overrightarrow{\ell}$ ar $Ox$ un $Oy$ asu pozitīvajiem virzieniem (3.3. zīm.). Acīmredzami $\beta=\frac{\pi}{2}-\alpha$, tāpēc $\cos\beta=\sin\alpha$ un $\overrightarrow{\ell}=(\cos\alpha,\sin\alpha)$.

3.6. teorēma. 

Ja funkcijai $z=f(x,y)$ punktā $P_0(x_0,y_0)$ eksistē nepārtraukti parciālie atvasinājumi, tad tai eksistē šajā punktā atvasinājums $\frac{\partial z}{\partial\ell}$ jebkurā virzienā $\overrightarrow{\ell}=(\cos\alpha,\cos\beta)$, pie tam

$$\boxed{\frac{\partial z}{\partial\ell}=\frac{\partial z}{\partial... ...c{\partial z}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial z}{\partial y}\sin\alpha\/.}$$

$\blacktriangleright$ Saskaņā ar punktā diferencējamas funkcijas pietiekamo nosacījumu funkcija $z=f(x,y)$ diferencējama punktā $P_0(x_0,y_0)$. Tāpēc

$$\Delta z=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y+\gamma_1\Delta x+\gamma_2\Delta y\/,$$

kur $\gamma_1,\gamma_2$ - bezgalīgi mazas funkcijas, kad $\Delta x\rightarrow 0$ un $\Delta y\rightarrow 0$. Iegūst, ka

$$\frac{\Delta z}{\Delta\ell}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\fr... ...ll}+\gamma_1\frac{\Delta x}{\Delta\ell }+\gamma_2\frac{\Delta y}{\Delta\ell}\/,$$

kur $\frac{\Delta x}{\Delta\ell}=\cos\alpha$, $\frac{\Delta y}{\Delta\ell }=\sin\alpha=\cos\beta$. Tāpēc

$$\frac{\Delta z}{\Delta\ell}=\frac{\partial z}{\partial x}\cos\alpha+ \frac{\partial z}{\partial y}\cos\beta+\gamma_1\cos\alpha+\gamma_2\cos\beta\/.$$

Acīmredzami, ja $\Delta\ell\rightarrow 0$, tad arī $\Delta x\rightarrow 0$ un $\Delta y\rightarrow 0$. Tāpēc eksistē

$$\begin{multline*} \lim\limits_{\Delta\ell\rightarrow 0}\frac{\Delta z}{\Delta\el... ...z}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial z}{\partial y}\cos\beta. \end{multline*}$$

Tādējādi eksistē $\frac{\partial z}{\partial\ell}=\frac{\partial z}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial z}{\partial y}\cos\beta$. $\blacktriangleleft$

Apskata vektorus $\overrightarrow{a}=\left(\frac{\partial z }{\partial x},\frac{\partial z }{\partial y}\right)$ un $\overrightarrow{\ell}=(\cos\alpha,\cos\beta)$. Šo vektoru skalārais reizinājums $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{\ell}=\frac{\partial z}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial z}{\partial y}\cos\beta$ acīmredzami ir $\frac{\partial z}{\partial\ell}$. Tādējādi $\frac{\partial z}{\partial\ell}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{\ell}$. Šo vektoru skalāro reizinājumu var uzrakstīt arī citā formā - vektoriālajā formā: $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{\ell}=\left\vert\overrightarrow{a}\right\vert \cdot\left\vert\overrightarrow{\ell}\right\vert\cos\varphi$, kur $\varphi$ - leņķis starp vektoriem $\overrightarrow{a}$ un $\overrightarrow{\ell}$. Šo vektoru skalārais reizinājums sasniedz maksimālo vērtību, ja $\cos\varphi=1$, t.i., ja $\varphi=0$. Seko, ka funkcijai $z=f(x,y)$ vislielākais izmaiņas ātrums ir virzienā $\overrightarrow{\ell}=\left(\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}\right)$.

3.6. definīcija. 

Vektoru $\left(\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}\right)$, kas raksturo funkcijas $z=f(x,y)$ vislielākās izmaiņas ātrumu punktā $P_0(x_0,y_0)$, sauc par šīs funkcijas gradientu^3.1 punktā $P_0$ un apzīmē $\grad z$ jeb $\grad f(P_0)$. Tādējādi $\grad z=\left(\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}\right)$ un

$$\boxed{\frac{\partial z}{\partial\ell}=\grad z\cdot\overrightarrow{\ell}\/.}$$

3.7. piezīme. 

Triju argumentu funkcijai $u=f(x,y,z)$

$$\frac{\partial u}{\partial\ell}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos... ...rac{\partial u}{\partial y}\cos\beta+\frac{\partial u}{\partial z}\cos\gamma\;,$$

kur $\alpha,\beta,\gamma$ - leņķi atbilstoši ar asīm $Ox,Oy,Oz$,
$\grad u=\left(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z}\right)$.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.7. Augstāku kārtu atvasinājumi Augstāk: 3. VAIRĀKU ARGUMENTU DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 3.5. Saliktas funkcijas diferencēšana