Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.8. Augstāku kārtu diferenciāļi Augstāk: 3. VAIRĀKU ARGUMENTU DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 3.6. Atvasinājums norādītajā virzienā. Gradients

3.7. Augstāku kārtu atvasinājumi

Apskata kopā $D$ diferencējamu funkciju $z=f(x,y)$. Šīs kopas katrā punktā $P(x,y)$ eksistē parciālie atvasinājumi $\frac{\partial z}{\partial x}$ un $\frac{\partial z}{\partial y}$. Šie parciālie atvasinājumi ir kopā $D$ definētas argumentu $x$ un $y$ funkcijas, kurām var eksistēt parciālie atvasinājumi, t.i., $\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x }\right)$, $\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y }\right)$, $\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x }\right)$ un $\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y }\right)$. Ja šie parciālie atvasinājumi (no parciālajiem atvasinājumiem) eksistē, tad tos sauc par funkcijas $z=f(x,y)$ otrās kārtas parciālajiem atvasinājumiem un apzīmē atbilstoši $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$, $\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}$, $\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$, $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$. (Lasa: ``de divi zet pēc de iks kvadrātā"; ``de divi zet pēc de igrek de iks" utt.). Šos otrās kārtas parciālos atvasinājumus vēl apzīmē $z_{x^2}''$, $z_{yx}''$, $z_{xy}''$, $z_{y^2}''$. Tādējādi eksistē četri funkcijas $z=f(x,y)$ otrās kārtas parciālie atvasinājumi. Analoģiski spriežot, var runāt par astoņiem šīs funkcijas trešās kārtas parciālajiem atvasinājumiem utt.

3.7. definīcija. 

Funkcijas parciālos atvasinājumus, kuriem kārta ir divi un lielāka, sauc par funkcijas augstāku kārtu parciālajiem atvasinājumiem.

3.8. piemērs. 

Atrast funkcijas $z=x^2y^3$ visus otrās kārtas parciālos atvasinājumus.

Atrod

$$\frac{\partial z}{\partial x} =2xy^3;$$

$$\frac{\partial z}{\partial y} =3x^2y^2;$$

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2xy^3\bigr)=2y^3;$$

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xy^3\bigr)=6xy^2;$$

$$\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^2y^2\bigr)=6xy^2;$$

$$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^2y^2\bigr)=6x^2y.$$

3.8. piezīme. 

Šajā piemērā tika iegūts, ka $\frac{\partial^2 z} {\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}$. Daudzām funkcijām ir spēkā šāda vienādība.

3.7. teorēma. 

Ja funkcijai $z=f(x,y)$ punkta $P_0(x_0,y_0)$apkārtnē eksistē otrās kārtas parciālie atvasinājumi un tie ir nepārtraukti šajā punktā, tad punktā $P_0(x_0,y_0)$ izpildās sakarība $\frac{\partial^2 z} {\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}$.

3.4. zīm.

$\blacktriangleright$ Izvēlas tādus argumentu patvaļīgus pieaugumus $\Delta x\neq 0$ un $\Delta y~\neq~0$, ka punkts $P(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)$ pieder punkta $P_0(x_0,y_0)$ apkārtnei (3.4. zīm.).

Apskata

$$A=f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0+\Delta x, y_0)-f(x_0,y_0+\Delta y)+f(x_0,y_0)\/.$$

Izveido funkciju

$$\varphi(x)=f(x,y_0+\Delta y)-f(x,y_0)\/.$$

Tā kā funkcijai $f(x,y)$ punkta $P_0(x_0,y_0)$ apkārtnē eksistē atvasinājums $\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}$, tad funkcijai $\varphi(x)$ eksistē atvasinājums intervālā $[x_0,x_0+\Delta x]$ un $\varphi'(x)=f_x'(x,y_0+\Delta y)-f_x'(x,y_0)$.

Tā kā

$$\varphi(x_0+\Delta x)=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0+\Delta x,y_0)$$

un

$$\varphi(x_0)=f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\/,$$

tad

$$A=\varphi(x_0+\Delta x)-\varphi(x_0)\/.$$

Šai starpībai pielieto Lagranža formulu intervālā $\;[x_0,x_0+\Delta x]\;$. Iegūst $\;A=\varphi'(x_0+\Theta_1\Delta x)\Delta x$, kur $0<\Theta_1<1$ jeb

$$A=\bigl(f_x'(x_0+\Theta_1\Delta x,y_0+\Delta y)-f_x'(x_0+\Theta_1\Delta x,y_0)\bigr)\Delta x\/.$$

Starpībai pielieto Lagranža formulu intervālā $[y_0,y_0+\Delta y]$

$$A=f_{xy}''(x_0+\Theta_1\Delta x,y_0+\Theta_2\Delta y)\Delta x\Delta y,$$ (3.6)

kur $0<\Theta_2<1$ (funkcijai $f(x,y)$ punkta $P_0(x_0,y_0)$ apkārtnē eksistē parciālais atvasinājums $f_{xy}''$).

Ja izveidotu otru funkciju $\psi(y)=f(x_0+\Delta x,y)-f(x_0,y)$ un rīkotos analoģiski, tad iegūtu, ka

$$A=f_{yx}''(x_0+\Theta_4\Delta x,y_0+\Theta_3\Delta y)\Delta x\Delta y,$$ (3.7)

kur $0<\Theta_3<1$ un arī $0<\Theta_4<1$. No vienādībām (3.6), (3.7) seko:

$$f_{xy}''(x_0+\Theta_1\Delta x,y_0+\Theta_2\Delta y)\Delta x\Delta y= f_{yx}''(x_0+\Theta_4\Delta x,y_0+\Theta_3\Delta y)\Delta x\Delta y\/.$$

Vienādības abas puses izdala ar $\Delta x\Delta y\neq 0$.

$$f_{xy}''(x_0+\Theta_1\Delta x,y_0+\Theta_2\Delta y)= f_{yx}''(x_0+\Theta_4\Delta x,y_0+\Theta_3\Delta y)\/.$$

Šajā vienādībā pāriet pie robežas, kad $\Delta x\rightarrow 0$ un $\Delta y\rightarrow 0$ (robežas punktā $P_0(x_0,y_0)$ eksistē, jo parciālie atvasinājumi $f_{xy}''$ un $f_{yx}''$ ir nepārtrauktas šajā punktā funkcijas). Iegūst $f_{xy}''(x_0,y_0)=f_{yx}''(x_0,y_0)$. $\blacktriangleleft$

3.9. piezīme. 

Analoģiska teorēma ir spēkā arī $n$ argumentu funkcijai. Nepārtrauktie $k$ - tās kārtas parciālie atvasinājumi vienādi, ja pēc katra no mainīgajiem atvasināts tikpat daudz reižu.

Piemēram, $\frac{\partial^3 u}{\partial x^2\partial y}=\frac{\partial^3u}{\partial x\partial y\partial x}$, kur $u=u(x,y,z)$ un parciālie atvasinājumi ir nepārtraukti.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.8. Augstāku kārtu diferenciāļi Augstāk: 3. VAIRĀKU ARGUMENTU DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 3.6. Atvasinājums norādītajā virzienā. Gradients