Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.9. Teilora formula divu argumentu funkcijai Augstāk: 3. VAIRĀKU ARGUMENTU DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 3.7. Augstāku kārtu atvasinājumi

3.8. Augstāku kārtu diferenciāļi

Apskata kopā $D$ diferencējamu funkciju $f(x,y)$. Par šādas funkcijas diferenciāli sauc $df(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)dx+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)dy$. Ja $dx$ un $dy$ ir fiksēti, tad $df(x,y)$ var uzskatīt par mainīgo $x$ un $y$ funkciju. Pie tam, ja šī funkcija ir diferencējama, tad var runāt par tās diferenciāli, t.i., $d\bigl(df(x,y)\bigr)$, kuru attiecībā pret $f(x,y)$ sauc par otrās kārtas diferenciāli un apzīmē $d^2f(x,y)$. Tātad

$$\begin{multline*} d^2f(x,y)=d\bigl(df(x,y)\bigr)=d\left(\frac{\partial f}{\parti... ...partial x\partial y}dx dy+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}dy^2. \end{multline*}$$

(Izmantoja, ka $\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}$).

Analoģiski definē $d^3f(x,y)$ un vispārīgi $d^nf(x,y)=d\bigl(d^{n-1}f(x,y)\bigr)$. Simboliski var rakstīt

$$\boxed{d^nf(x,y)=\left(\frac{\partial}{\partial x}dx+\frac{\partial}{\partial y}dy\right)^nf(x,y)\/.}$$

Analoģiski var apskatīt augstāku kārtu diferenciāļus $n$ argumentu funkcijai.

3.10. piezīme. 

Ja $x$ un $y$ nav neatkarīgie argumenti, bet starpargumenti, t.i., $z=f(x,y)$, kur $x$ un $y$ ir viena vai vairāku neatkarīgo argumentu funkcijas, tad, piemēram,

$$d^2z=\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}dx^2+2\frac{\partial^2 z}{\... ...l^2 y}dy^2+ \frac{\partial z}{\partial x}d^2x+\frac{\partial z}{\partial y}d^2y$$

utt.

3.9. piemērs. 

Atrast funkcijas $z=2x^2-3xy-y^2$ otrās kārtas diferenciāli.

Atrod

$$\frac{\partial^2z}{\partial x^2}=4;\quad\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=-3;\quad \frac{\partial^2z}{\partial y^2}=-2\/.$$

Tādējādi

$$d^2z=4dx^2+2(-3)dx dy-2 dy^2=4dx^2-6dx dy-2dy^2\/.$$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.9. Teilora formula divu argumentu funkcijai Augstāk: 3. VAIRĀKU ARGUMENTU DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 3.7. Augstāku kārtu atvasinājumi