Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.10. Jautājumi Augstāk: 3. VAIRĀKU ARGUMENTU DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 3.8. Augstāku kārtu diferenciāļi

3.9. Teilora formula divu argumentu funkcijai

Teilora formulu divu argumentu funkcijai var iegūt, izmantojot Teilora formulu viena argumenta funkcijai. Ja funkcijai $f(x)$ punkta $x_0$ apkārtnē eksistē visi atvasinājumi līdz $(n+1)$ kārtai ieskaitot, tad visiem $x$, kas pieder šai apkārtnei, ir spēkā vienādība

$$\begin{multline*} f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_... ...n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}, \end{multline*}$$

kur $c=x_0+\Theta(x-x_0)$ un $0<\Theta<1$. Ja apzīmē $x-x_0=\Delta x$ un izmanto funkcijas $f(x)$ diferenciāļu aprēķināšanas formulas, tad Teilora formulu var uzrakstīt šādi:

$$f(x_0+\Delta x )=f(x_0)+\frac{df(x_0)}{1!}+\frac{d^2f(x_0)}{2!}+\cdots +\frac{d^nf(x_0)}{n!}+\frac{d^{n+1}f(c)}{(n+1)!},$$

kur $c=x_0+\Theta\Delta x$ un $0<\Theta<1$ jeb

$$\begin{multline*} f(x_0+\Delta x )=f(x_0)+\frac{df(x_0)}{1!}+\frac{d^2f(x_0)}{2!... ...frac{d^nf(x_0)}{n!}+\frac{d^{n+1}f(x_0+\Theta\Delta x)}{(n+1)!}, \end{multline*}$$

kur $0<\Theta<1$.

Tagad apskata funkciju $f(x,y)$, kurai punkta $(x_0,y_0)$ apkārtnē eksistē visi diferenciāļi līdz $(n+1)$ kārtai ieskaitot.

Izvēlas tādus patvaļīgus argumentu pieaugumus $\Delta x$ un $\Delta y$, lai punkts $(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)$ piederētu šai apkārtnei. Apskata $f(x_0+t\Delta x, y_0+t\Delta y)$, kur $0\leq t\leq 1$. Šo izteiksmi fiksētiem $\Delta x$ un $\Delta y$ var uzskatīt par mainīgā $t$ funkciju $F(t)$. Tādējādi $F(t)=f(x_0+t\Delta x,y_0+t\Delta y)$, kur $0\leq t\leq 1$. Funkcijai $F(t)$ intervālā $[0,1]$ eksistē visi atvasinājumi līdz $(n+1)$ kārtai ieskaitot. Tiešām, ja $F(t)$ uzskata par saliktu funkciju $F(t)=f(x,y)$, kur $x=x_0+t\Delta x$, $y=y_0+t\Delta y$, tad $F(t)$ ir diferencējama funkcija kā salikta funkcija, pie tam

$$F'(t)=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\part... ...partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y=df(x,y)\/.$$

Funkcija $F'(t)$ arī ir diferencējama. (Pamatot patstāvīgi!)

Tāpēc eksistē

$$\begin{multline*} F''(t)=\bigl(F'(t)\bigr)'=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f }... ...\partial^2 f }{\partial y^2}\Delta y^2=d^2f(x,y)\quad\text{utt.} \end{multline*}$$

Beidzot, eksistē $F^{(n+1)}(t)=d^{n+1}f(x,y)$.

Funkcijai $F(t)$ uzraksta Teilora formulu (izvēlas $t_0=0$ un $t=1$):

$$F(1)=F(0)+\frac{F'(0)}{1!}+\frac{F''(0)}{2!}+\cdots +\frac{F^{(n)}(0)}{n!}+ \frac{F^{n+1}(\Theta)}{(n+1)!}\/,$$

kur $0<\Theta<1$. Funkcijas $F(t)$ un tās atvasinājumu vērtības aizstāj ar atbilstošajām izteiksmēm. Iegūst, ka

$$\begin{multline*} f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)=f(x_0,y_0)+\frac{df(x_0,y_0)}{1!... ...+\frac{d^{n+1}f(x_0+\Theta\Delta x,y_0+\Theta\Delta y)}{(n+1)!}, \end{multline*}$$

kur $0<\Theta<1$.

Iegūtā formula ir funkcijas $f(x,y)$ Teilora formula punkta $(x_0,y_0)$ apkārtnē.

Ja $n=0$, tad iegūst Teilora formulas atsevišķo gadījumu - Lagranža formulu:

$$f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)=f(x_0,y_0)+df(x_0+\Theta\Delta x,y_0+\Theta\Delta y)$$

jeb

$$\begin{multline*} f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f(x_0+... ... f(x_0+\Theta\Delta x, y_0+\Theta\Delta y)}{\partial y}\Delta y, \end{multline*}$$

kur $0<\Theta<1$.

Ja $n=1$, tad iegūst

$$\begin{multline*} f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)=\\ =f(x_0,y_0)+\frac{\partial f(... ...\Delta x, y_0+\Theta\Delta y)}{\partial y^2}\Delta y^{2}\right). \end{multline*}$$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.10. Jautājumi Augstāk: 3. VAIRĀKU ARGUMENTU DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 3.8. Augstāku kārtu diferenciāļi