Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.6. Atvasinājums norādītajā virzienā. Gradients Augstāk: 3. VAIRĀKU ARGUMENTU DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 3.4. Pieskarplakne

3.5. Saliktas funkcijas diferencēšana

3.5. teorēma. 

Ja kopā $D$ definēta salikta funkcija $z=f(u,v)$, kur $u=u(x,y)$, $v=v(x,y)$, funkcijām $u(x,y)$, $v(x,y)$ punkta $(x_0,y_0)\in D$ apkārtnē eksistē nepārtraukti parciālie atvasinājumi un funkcijai $z=f(u,v)$ atbilstoša punkta $(u_0,v_0)$ apkārtnē eksistē nepārtraukti parciālie atvasinājumi, tad salikta funkcija $z=f\bigl(u(x,y), v(x,y)\bigr)$ ir diferencējama punktā $(x_0,y_0)$, pie tam

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{... ...al u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}\/.$$

$\blacktriangleright$ Tā kā funkcijām $u(x,y)$, $v(x,y)$ punkta $(x_0,y_0)$ apkārtnē eksistē nepārtraukti parciālie atvasinājumi, tad funkcijas ir diferencējamas šajā punktā, t.i.,

$$\Delta u=\frac{\partial u}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial u}{\partial y}\Delta y+\alpha_1\Delta x+\beta_1\Delta y$$

un

$$\Delta v=\frac{\partial v}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial v}{\partial y}\Delta y+\alpha_2\Delta x+\beta_2\Delta y\/,$$

kur $\alpha_1$, $\beta_1$, $\alpha_2$, $\beta_2$ - bezgalīgi mazas funkcijas, kad $\Delta x\rightarrow 0$ un $\Delta y\rightarrow 0$.

Ja uzskata, ka $\Delta y=0$, tad iegūst šo funkciju parciālos pieaugumus.

$$\Delta_x u=\frac{\partial u}{\partial x}\Delta x+\alpha_1\Delta x \quad\Delta_x v=\frac{\partial v}{\partial x}\Delta x+\alpha_2\Delta x$$ (3.4)

Šiem pieaugumiem atbilst funkcijas $z=f(u,v)$ pieaugums, kuru ir lietderīgi apzīmēt $\Delta_x z$.

Tā kā funkcijai $z=f(u,v)$ punkta $(u_0,v_0)$ apkārtnē eksistē nepārtraukti parciālie atvasinājumi, tad tā ir diferencējama šajā punktā.

Tāpēc

$$\Delta_x z=\frac{\partial z}{\partial u}\Delta_x u+\frac{\partial z}{\partial v}\Delta_x v+\alpha\Delta_x u+\beta\Delta_x v,$$ (3.5)

kur $\lim\limits_{\substack{\Delta_x u\rightarrow 0\\ \Delta_x v\rightarrow 0}}\al... ...m\limits_{\substack{\Delta_x u\rightarrow 0\\ \Delta_x v\rightarrow 0}}\beta=0$.

Vienādībā (3.5) $\Delta_x u$ un $\Delta_x v$ aizstāj ar atbilstošajām izteiksmēm (3.4)

$$\begin{multline*} \Delta_x z=\frac{\partial z}{\partial u}\left(\frac{\partial u... ...l v}\frac{\partial v}{\partial x}\right)\Delta x+\gamma\Delta x, \end{multline*}$$

kur

$$\gamma=\alpha_1\frac{\partial z}{\partial u}+\alpha_2\frac{\parti... ...partial x}+\alpha\cdot\alpha_1+\beta\frac{\partial v}{\partial x}+\beta\alpha_2$$

ir bezgalīgi maza funkcija, kad $\Delta x\rightarrow 0$ ( $\Delta y=0$).

Atrod $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta_x z}{\Delta x}=\frac{\partial ... ...rtial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$. Tādējādi eksistē $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$, kas acīmredzami ir nepārtraukts punkta $(x_0,y_0)$ apkārtnē. Analoģiski pierāda, ka šī punkta apkārtnē eksistē nepārtraukts $\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$. Saskaņā ar funkcijas diferencējamības pietiekamo nosacījumu (3.3. teorēma) funkcija $z=f\bigl(u(x,y), v(x,y)\bigr)$ diferencējama punktā $(x_0,y_0)$. $\blacktriangleleft$

3.6. piemērs. 

Atrast funkcijas $z=u^2+v^3$, kur $u=\sqrt[3]{xy}$, $v=\sqrt[5]{\frac{x}{y}}$, parciālos atvasinājumus $\frac{\partial z}{\partial x}$ un $\frac{\partial z}{\partial y}$.

Atrod

$$\frac{\partial z}{\partial u} =2u,$$

$$\frac{\partial z}{\partial v} =3v^2,$$

$$\frac{\partial u}{\partial x} =\sqrt[3]{y}\cdot\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}},$$

$$\frac{\partial u}{\partial y} =\sqrt[3]{x}\cdot\frac{1}{3\sqrt[3]{y^2}},$$

$$\frac{\partial v}{\partial x} =\frac{1}{\sqrt[5]{y}}\cdot\frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}},$$

$$\frac{\partial v}{\partial y} =\sqrt[5]{x}\left(y^{-\frac{1}{5}}\right)_y'=-\frac{1}{5}\sqrt[5]{x}\cdot\frac{1}{\sqrt[5]{y^6}}\/.$$

Tādējādi

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{2u}{3}\cdot\sqrt[3]{\frac{y}{... ...{3}\cdot\sqrt[3]{\frac{x}{y^2}}-\frac{3v^2}{5}\cdot{\sqrt[5]{\frac{x}{y^6}}}\/,$$

kur $u=\sqrt[3]{xy}$, $v=\sqrt[5]{\frac{x}{y}}$.

3.7. piemērs. 

Atrast funkcijas $z=\ln t$, kur $t=\sin x+\cos y$, parciālos atvasinājumus $\frac{\partial z}{\partial x}$, $\frac{\partial z}{\partial y}$.

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{dz}{dt}\cdot\frac{\partial t}{\partial x}$; $\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{dz}{dt}\cdot\frac{\partial t}{\partial y}$. Atrod $\frac{dz}{dt}=\frac{1}{t}$; $\frac{\partial t}{\partial x}=\cos x$, $\frac{\partial t}{\partial y}=-\sin y$.

Tādējādi

$$\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{1}{t}\cos x=\frac{\cos x}{\sin x+\cos x};$$

$$\frac{\partial z}{\partial y} =\frac{1}{t}(-\sin y)=\frac{-\sin y}{\sin x+\cos y}\/.$$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.6. Atvasinājums norādītajā virzienā. Gradients Augstāk: 3. VAIRĀKU ARGUMENTU DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 3.4. Pieskarplakne