Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.5. Saliktas funkcijas diferencēšana Augstāk: 3. VAIRĀKU ARGUMENTU DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 3.3. Funkcijas diferenciāļa lietojumi tuvinātos aprēķinos

3.4. Pieskarplakne

Apskata funkciju $f(x,y)$, kas ir nepārtraukta punktā $P_0(x_0,y_0)$.

3.3. definīcija. 

Par funkcijas grafika pieskarplakni punktā $M_0\bigl(x_0,y_0,f(x_0,y_0)\bigr)$ sauc plakni, kas iet caur šo punktu un kas apmierina šādu nosacījumu: attālums $MN$ no grafika patvaļīga punkta $M\bigl(x,y,f(x,y)\bigr)$ līdz šai plaknei ir pēc patikas mazs, salīdzinot ar attālumu $M_{0}M$, kad $x\rightarrow x_0$ un $y\rightarrow y_0$, citiem vārdiem, $\frac{MN}{M_0M} \xrightarrow[\substack{x\rightarrow x_0\\ y\rightarrow y_0}]{\/}0$ (skat. 3.2. zīm.).

3.2. zīm.

3.4. teorēma. 

Ja funkcija $f(x,y)$ ir diferencējama punktā $P_0(x_0,y_0)$, tad tās grafikam atbilstošajā punktā $M_0\bigl(x_0,y_0,f(x_0,y_0)\bigr)$ eksistē pieskarplakne, kuras vienādojums ir

$$z-f(x_0,y_0)=f_x'(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0,y_0)(y-y_0)$$ (3.1)

$\blacktriangleright$ Tā kā funkcija $f(x,y)$ ir diferencējama punktā $P_0(x_0,y_0)$, tad tā ir nepārtraukta šajā punktā un izpildās sakarība

$$f(x,y)-f(x_0,y_0)=f_x'(x_0,y_0)\Delta x+f_y'(x_0,y_0)\Delta y+ \gamma\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2},$$ (3.2)

kur $x=x_0+\Delta x$, $y=y_0+\Delta y$ un $\lim\limits_{\substack{\Delta x\rightarrow o\\ \Delta y\rightarrow 0 }}\gamma=0$. Acīmredzami (3.1) ir plaknes, kas iet caur punktu $M_0\bigl(x_0,y_0,f(x_0,y_0)\bigr)$, vienādojums. Atliek pierādīt, ka šī plakne ir funkcijas $f(x,y)$ grafikam punktā $M_0$ konstruētā pieskarplakne. Tam nolūkam ir jāparāda, ka $\frac{MN}{M_0M} \xrightarrow[\substack{x\rightarrow x_0\\ y\rightarrow y_0}]{\/}0$ (3.2. zīm.). No vienādības (3.2) atņem (3.1) un iegūst

$$f(x,y)-z=\gamma\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}.$$ (3.3)

Apskata attiecību

$$\frac{MN}{M_0M}\leq\frac{MM'}{M_0M}\leq\frac{MM'}{P_0P}\/,$$

kur $P_0P=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$. Var saskatīt, ka $MM'=\left\vert z-f(x,y)\right\vert$ (situācijā, kas attēlota 3.2. zīmējumā, $MM'=-z+f(x,y)$, jo punkta $M'$ aplikāta ir $z$, bet punkta $M$ aplikāta ir $f(x,y)$).

Atsaucoties uz vienādību (3.3), var rakstīt, ka $MM'=\left\vert\gamma\right\vert\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$.

Tāpēc

$$\frac{MN}{M_{0}M}\leq \frac{\left\vert\gamma\right\vert\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}=\left\vert\gamma\right\vert\;.$$

Acīmredzami $\frac{MN}{M_0{M}}\xrightarrow [\substack{x\rightarrow x_0\\ y\rightarrow y_0}]{\/}0$, jo $\lim\limits_{\substack{\Delta x\rightarrow 0\\ \Delta y\rightarrow 0 }}\left\vert\gamma\right\vert=0$. $\blacktriangleleft$

3.4. definīcija. 

Par funkcijas grafika normāli punktā $M_0\bigl(x_0,y_0,f(x_0,y_0)\bigr)$ sauc taisni, kas iet caur šo punktu un ir perpendikulāra šajā punktā konkrētajai pieskarplaknei.

3.5. piemērs. 

Sastādīt pieskarplaknes un normāles vienādojumu funkcijas $z=x^2+y^2$ grafikam punktā, kura abscisa ir $1$ un ordināta $-1$.

Atrod $z_0=f(x_0,y_0)=f(1,-1)=1^2+(-1)^2=2$, $z_x'=2x$; $z_y'=2y$.

Izskaitļo

$$f_x'(x_0,y_0) =f_x'(1,-1)=2\cdot 1=2;$$

$$f_y'(x_0,y_0) =f_y'(1,-1)=2\cdot (-1)=-2.$$

Pieskarplaknes vienādojums

$$z-2=2(x-1)-2(y+1)$$   jeb$$\quad 2x-2y-z-2=0\/.$$

Tā kā normāle ir perpendikulāra pieskarplaknei, tad šīs taisnes virziena vektors ir $(2,-2,-1)$. Tādējādi normāles vienādojums ir

$$\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-2}{-1}\;.$$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.5. Saliktas funkcijas diferencēšana Augstāk: 3. VAIRĀKU ARGUMENTU DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 3.3. Funkcijas diferenciāļa lietojumi tuvinātos aprēķinos