Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.4. Pieskarplakne Augstāk: 3. VAIRĀKU ARGUMENTU DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 3.2. Punktā diferencējamas funkcijas pietiekamais nosacījums

3.3. Funkcijas diferenciāļa lietojumi tuvinātos
aprēķinos

Punktā $(x_0,y_0)$ diferencējamai funkcijai $z=f(x,y)$ ir spēkā vienādība $\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+\alpha\Delta x+\beta\Delta y$, kur $A,B$ - skaitļi un $\alpha,\beta$ - bezgalīgi mazas funkcijas, kad $\Delta x\rightarrow 0$, $\Delta y\rightarrow 0$. Tāpēc $\Delta z\approx dz$, kur $dz=A\Delta x+B\Delta y$. Pārveidojot šo aptuveno vienādību, iegūst, ka

$$f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)\approx f(x_0,y_0)+f_x'(x_0,y_0)\Delta x+f_y'(x_0,y_0)\Delta y\/.$$

Šīs aptuvenās vienādības lietošanas shēma ir šāda.

1. Lielumu $Q$, kuram ir jāatrod tuvināta vērtība, uzraksta kā funkcijas $z=f(x,y)$ vērtību punktā $(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)$, t.i.,
   $Q=f(x_0~+~\Delta x;~y_0~+~\Delta y)$, kur punktu $(x_0,y_0)$ izvēlas tā, lai šajā punktā funkcijas vērtību varētu viegli aprēķināt.
2. Atrod $z_x'$, $z_y'$ un izskaitļo funkcijas un tās parciālo atvasinājumu vērtības punktā $(x_0,y_0)$.
3. No aptuvenās vienādības atrod $f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)$.

3.5. piezīme. 

Tuvinājums būs jo labāks, jo mazāki pēc moduļa būs $\Delta x$ un $\Delta y$.

3.4. piemērs. 

Aprēķināt izteiksmes $\sqrt{1,03^2+1,98^3}$ tuvinātu vērtību.

Šoreiz $Q=\sqrt{1,03^2+1,98^3}$, $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^3}$ un

$Q=f(1+0,03;2-0,02)$. Tādējādi $x_0=1$, $y_0=2$, $\Delta x=0,03$, $\Delta y=-0,02$.

Atrod

$$z_x'=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^3}},\quad z_y'=\frac{3y^2}{2\sqrt{x^2+y^3}}\/.$$

Izskaitļo $f(1,2)=\sqrt{1^2+2^3}=3$; $f_x'(1,2)=\frac{1}{3}$, $f_y'(1,2)=2$.

Pielieto aptuveno vienādību

$$f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)\approx f(x_0,y_0)+ f_x'(x_0,y_0)\Delta x+f_y'(x_0,y_0)\Delta y$$

un izskaitļo $Q$ tuvinātu vērtību $Q\approx 3+\frac{1}{3}\cdot 0,03+2(-0,02)=2,97$.

Tādējādi $\sqrt{1,03^2+1,98^3}\approx 2,97$.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.4. Pieskarplakne Augstāk: 3. VAIRĀKU ARGUMENTU DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 3.2. Punktā diferencējamas funkcijas pietiekamais nosacījums