Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.3. Funkcijas diferenciāļa lietojumi tuvinātos aprēķinos Augstāk: 3. VAIRĀKU ARGUMENTU DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 3.1. Punktā diferencējama funkcija. Diferenciālis. Parciālie

3.2. Punktā diferencējamas funkcijas pietiekamais nosacījums

Viena argumenta funkcijai punktā diferencējama funkcija ir tas pats, kas funkcija, kurai eksistē šajā punktā atvasinājums. Vairāku argumentu funkcijai parciālo atvasinājumu eksistence ir šīs funkcijas diferencējamības tikai nepieciešamais nosacījums.

Piemēram, funkcijai

$$f(x,y)=\left\{ \begin{array}{ccl} \frac{xy}{x^2+y^2}, & \text{ja} & x^2+y^2\neq 0\/, \\ 0, & \text{ja} & x=y=0\/, \end{array}\right.$$

punktā $(0,0)$ eksistē parciālie atvasinājumi, pie tam $f_x'(0,0)=f_y'(0,0)=0$, jo $\Delta_xf(0,0)=\Delta_y f(0,0)=0$. Punktā $(0,0)$ šī funkcija nav nepārtraukta, tāpēc nav arī diferencējama.

Lai funkcija būtu diferencējama punktā $(x_0,y_0)$, ar parciālo atvasinājumu eksistenci vien nepietiek, bet vajag, lai šie parciālie atvasinājumi būtu nepārtraukti šajā punktā.

3.3. teorēma. 

Punktā diferencējamas funkcijas pietiekamais nosacījums.

Ja funkcijai $z=f(x,y)$ punkta $P_0(x_0,y_0)$ apkārtnē eksistē parciālie atvasinājumi $\frac{\partial z}{\partial x}$, $\frac{\partial z}{\partial y}$ un tie ir nepārtraukti šajā punktā, tad tā ir diferencējama punktā $P_0(x_0,y_0)$.

3.1. zīm.

$\blacktriangleright$ Izvēlas argumentu $x$ un $y$ tādus pieaugumus $\Delta x$ un $\Delta y$, lai punkts $P(x_0+\Delta x,y+\Delta y)$ piederētu teorēmā minētajai apkārtnei (3.1. zīm.).

Pārveido funkcijas pieaugumu punktā $P_0$.

$$\begin{multline*} \Delta z=f(P)-f(P_0)=\bigl(f(P)-f(P_1)\bigr)+\bigl(f(P_1)-f(P_... ...\frac{\partial f(x_0+\Theta_2\Delta x,y_0)}{\partial x}\Delta x, \end{multline*}$$

kur $0<\Theta_1<1,\quad 0<\Theta_2<1$. (Starpībām, kas atradās iekavās, tika pielietota Lagranža formula atbilstošajos intervālos).

Tā kā parciālie atvasinājumi ir nepārtraukti punktā $P_0(x_0,y_0)$, tad

$$\lim\limits_{\substack{\Delta x\rightarrow o\\ \Delta y\rightarr... ...\Theta_1\Delta y)}{\partial y}\Delta y=\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}=B$$

un

$$\lim\limits_{\substack{\Delta x\rightarrow 0\\ \Delta y\rightar... ...\Delta x,y_0)}{\partial x}\Delta x=\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x }=A\/.$$

Tāpēc

$$\frac{\partial f(x_0+\Delta x,y_0+\Theta_1\Delta y)}{\partial y}=B+\beta$$

un

$$\frac{\partial f(x_0+\Theta_2\Delta x,y_0)}{\partial x}=A+\alpha\/,$$

kur $\alpha$ un $\beta$ - bezgalīgi mazas funkcijas, kad $\Delta x\rightarrow 0$ un $\Delta y\rightarrow 0$, bet $A$ un $B$ - skaitļi. Tātad

$$\Delta z=(B+\beta)\Delta y+(A+\alpha)\Delta x=A\Delta x+B\Delta y+ \alpha\Delta x+\beta\Delta y\/.$$

Tādējādi funkcija $z=f(x,y)$ ir diferencējama punktā $P_0(x_0,y_0)$. $\blacktriangleleft$ Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.3. Funkcijas diferenciāļa lietojumi tuvinātos aprēķinos Augstāk: 3. VAIRĀKU ARGUMENTU DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 3.1. Punktā diferencējama funkcija. Diferenciālis. Parciālie