Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.2. Punktā diferencējamas funkcijas pietiekamais nosacījums Augstāk: 3. VAIRĀKU ARGUMENTU DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 3. VAIRĀKU ARGUMENTU DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS

3.1. Punktā diferencējama funkcija. Diferenciālis. Parciālie atvasinājumi

3.1. definīcija. 

Funkciju $z=f(x,y)$ sauc par diferencējamu punktā $\bigl(x_0,y_0\bigr)$, ja tās pilno pieaugumu $\Delta z$ var izteikt šādi:

$$\boxed{\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+\alpha\Delta x+\beta\Delta y\/,}$$

kur $A,B$ - skaitļi, bet $\alpha,\beta$ - bezgalīgi mazas funkcijas, kad $\Delta x~\rightarrow~0$ un $\Delta y\rightarrow 0$. Funkcijas pieauguma $\Delta z$ galveno sastāvdaļu, t.i., $A\Delta x~+~B\Delta y$, sauc par šīs funkcijas diferenciāli punktā $(x_0,y_0)$ un apzīmē ar $dz$ jeb $df(x_0,y_0)$. Tādējādi

$$\boxed{dz=A\Delta x+B\Delta y\/.}$$

3.1. piezīme. 

Funkcijas pieauguma $\Delta x$ otru sastāvdaļu $\alpha\Delta x+\beta\Delta y$ var pārveidot šādi:

$$\alpha\Delta x+\beta\Delta y=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}\cdot \f... ...a\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}= \gamma\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}\/,$$

kur $\gamma=\frac{\alpha\Delta x+\beta\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}= \alp... ...qrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}+ \beta\frac{\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}$ - bezgalīgi maza funkcija, kad $\Delta x\rightarrow 0$ un $\Delta y\rightarrow 0$. $\left(\frac{\left\vert\Delta x\right\vert}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}\leq1,... ...d\frac{\left\vert\Delta y\right\vert}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}\leq1\right)$.

Tādējādi funkciju $z=f(x,y)$ sauc par diferencējamu punktā $\big(x_0,y_0\bigr)$, ja tās pilno pieaugumu $\Delta z$ var izteikt šādi:

$$\boxed{\Delta z=A\Delta x+B\Delta+\gamma\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2\/,}}$$

kur $A,B$ - skaitļi, bet $\gamma$ - bezgalīgi maza funkcija, kad $\Delta x\rightarrow 0$ un $\Delta y\rightarrow 0$.

3.1. teorēma. 

(Punktā diferencējamas funkcijas nepieciešamais nosacījums).

Ja funkcija $z=f(x,y)$ - diferencējama punktā $(x_0,y_0)$, tad eksistē robežas $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta_x z}{\Delta x}$ un $\lim\limits_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{\Delta_y z}{\Delta y}$.

$\blacktriangleright$ No $\Delta z$ var iegūt $\Delta_x z$, ja izvēlas $\Delta y=0$. Tādējādi

$$\Delta_x z=A\Delta x+\alpha\Delta x.$$

Seko, ka $\frac{\Delta_x z}{\Delta x}=A +\alpha$ un eksistē $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta_x z}{\Delta x}=A$. Analoģiski eksistē $\lim\limits_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{\Delta_y z}{\Delta y}=B$. $\blacktriangleleft$

3.2. definīcija. 

Ja funkcija $z=f(x,y)$ ir definēta punktā $(x_0,y_0)$ un tā apkārtnē, eksistē $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta_x z}{\Delta x}$, tad šo robežu sauc par šīs funkcijas parciālo atvasinājumu pēc $x$ punktā $(x_0,y_0)$ un apzīmē $\frac{\partial z}{\partial x}$, $z_x'$, $f_x'(x_0,y_0)$. Tādējādi $\frac{\partial z}{\partial x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta_x z}{\Delta x}$. Analoģiski definē $\frac{\partial z}{\partial y}=\lim\limits_{\Delta y\rightarrow 0} \frac{\Delta_y z}{\Delta y}$.

3.2. piezīme. 

$\phantom{}$

1. 3.1. teorēmu var formulēt šādi.

   Ja funkcija $z=f(x,y)$ - diferencējama punktā $(x_0,y_0)$, tad šajā punktā tai eksistē parciālie atvasinājumi $\frac{\partial z}{\partial x}$ un $\frac{\partial z}{\partial y}$.

2. Funkcijas $z=f(x,y)$ diferenciāli $dz$ var izteikt šādi:
   $$\boxed{dz=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y\/.}$$

3. Parasti argumentu pieaugumus $\Delta x$ un $\Delta y$ apzīmē atbilstoši $dx$ un $dy$, tāpēc
   $$\boxed{dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy\;.}$$

4. 3.1. teorēmai apgrieztais apgalvojums nav spēkā.

3.2. teorēma. 

(Punktā diferencējamas funkcijas nepieciešamais nosacījums).

Ja funkcija $z=f(x,y)$ - diferencējama punktā $(x_0,y_0)$, tad šajā punktā tā ir nepārtraukta.

(Pierādīt patstāvīgi).

3.3. piezīme. 

$\phantom{}$

1. Arī šoreiz apgrieztā teorēma nav spēkā. Piemēram, funkcija $z~=~\sqrt{x^2+y^2}$ ir nepārtraukta punktā $(0,0)$, tomēr šajā punktā tai neeksistē parciālie atvasinājumi un, proti, tā nav diferencējama punktā $(0,0)$. (Pamatot patstāvīgi!).
2. Tā kā parciālo atvasinājumu definīcijas ir analoģiskas viena argumenta funkcijas atvasinājuma definīcijai, tad parciālos atvasinājumus atrod pēc tām pašām formulām un tiem pašiem likumiem, kādi tika apskatīti viena argumenta funkcijām. Svarīgi atzīmēt, ka atrodot $\frac{\partial z}{\partial x}$, $y$ uzskata ne par mainīgo, bet par konstanti. Analoģiski, kad atrod $\frac{\partial z}{\partial y}$, $x$ uzskata par konstanti.

3.1. piemērs. 

Atrast funkcijas $z=x^3y+\sin\bigl(x^2+\sqrt{y}\bigr)+\tg x+\ln y$ parciālos atvasinājumus.

Vispirms $y$ uzskata par konstanti un atrod

$$\frac{\partial z}{\partial x}= 3x^2y+2x\cos\bigl(x^2+\sqrt{y}\bigr)+\frac{1}{\cos^2 x}\/.$$

Analoģiski

$$\frac{\partial z}{\partial y}=x^3+\frac{1}{2\sqrt{y}}\cos\bigl(x^2+\sqrt{y}\bigr)+\frac{1}{y}\/.$$

3.2. piemērs. 

Atrast funkcijas $z=\frac{x}{y}$ diferenciāli $dz$ punktā $(2,1)$, ja $\Delta x=0,1$; $\Delta y=-0,2$.

Atrod $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{y}$ un $\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{x}{y^2}$. Izskaitļo parciālo atvasinājumu vērtības punktā $(2,1)$. $\frac{\partial z}{\partial x}=1$; $\frac{\partial z}{\partial y}=-2$. Funkcijas diferenciālis

$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y\/.$$

Tādējādi

$$dz=1\cdot 0,1-2(-0,2)=0,5\/.$$

Apskata funkciju $z=f(x,y)$, kurai punktā $(x_0,y_0)$ eksistē parciālie atvasinājumi pie fiksētas vērtības $y=y_0$. Ģeometriski tas nozīmē, ka virsma $z=f(x,y)$ tiek šķelta ar plakni $y=y_0$ (šī plakne paralēla koordinātu plaknei $xOz$). Šķēlumā iegūst līniju, kas iet caur doto punktu. Virziena koeficients pieskarei, kas konstruēta šai līnijai punktā $(x_0,y_0)$, būs vienāds ar $f_x'(x_0,y_0)$. Analoģiski $f_y'(x_0,y_0)$ ir virziena koeficients pieskarei, kas konstruēta punktā $(x_0,y_0)$ līnija, pa kuru virsma $z=f(x,y)$ šķeļas ar plakni $x=x_0$.

3.4. piezīme. 

Analoģiski rīkojoties, var definēt punktā diferencējamu triju, četru utt. argumentu funkciju, tās parciālos atvasinājumus un diferenciāli. Atrodot šādas funkcijas parciālo atvasinājumu pēc kāda mainīgā, pārējos argumentus uzskata par konstantēm.

3.3. piemērs. 

Atrast funkcijas $u=x^2y^3z^4+e^x+2^y+\arctg z$ parciālos atvasinājumus.

$$\frac{\partial u}{\partial x} =2xy^3z^4+e^x;$$

$$\frac{\partial u}{\partial y} =3x^2y^2z^4+2^y\ln 2;$$

$$\frac{\partial u}{\partial z} =4x^2y^3z^3+\frac{1}{1+z^2}.$$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.2. Punktā diferencējamas funkcijas pietiekamais nosacījums Augstāk: 3. VAIRĀKU ARGUMENTU DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 3. VAIRĀKU ARGUMENTU DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS