Matemātika DU TSC
Nākamais: 4.2. Līniju parametriskie vienādojumi Augstāk: 4. PARAMETRISKI UZDOTAS FUNKCIJAS UN VEKTORFUNKCIJAS Iepriekšējais: 4. PARAMETRISKI UZDOTAS FUNKCIJAS UN VEKTORFUNKCIJAS

4.1. Parametriski uzdotas funkcijas un to atvasināšana

Apskatīsim divas funkcijas $x=\varphi(t)$ un $x=\psi(t)$, kas definētas kaut kādā intervālā $I$. Ja, piemēram, funkcija $x=\varphi(t)$ ir stingri monotona šajā intervālā, tad tai eksistē apvērstā funkcija $t=\lambda(x)$, kas definēta atbilstošajā kopā $\varphi(I)$. Izveidosim saliktu funkciju $y=\psi(\lambda(x))$, kas definēta kopā $\varphi(I)$ un kas izsaka $y$ kā argumenta $x$ funkciju.

Pāreju no vienādojumiem

$$\left\{\begin{array}{l} x=\varphi(t),\\ y=\psi(t)\ \end{array}\right.$$

uz vienādojumu $y=\psi(\lambda(x))$ sauc par parametra $t$ izslēgšanu.

Parametra izslēgšana ne tik vien nav nepieciešama, bet bieži vien praktiski nav iespējama. Tāpēc parasti parametru neizslēdz un saka, ka argumenta $x$ funkcija $y=\psi(\lambda(x))=f(x)$ ir uzdota parametriski ar vienādojumiem

$$\left\{\begin{array}{l} x=\varphi(t),\\ y=\psi(t)\ \end{array}\right.$$

(parametrs $t\in I$).

Noskaidrosim, kā, neizslēdzot parametru, atrast parametriski uzdotas funkcijas atvasinājumus.

4.1. teorēma.  Ja funkcijas $x=\varphi(t)$ un $y=\psi(t)$ ir definētas intervālā $(a;b)$, ir diferencējamas punktā $t_0\in(a;b)$, pie tam $\varphi'(t_0)\neq 0$; funkcija $x=\varphi(t)$ ir stingri monotona un nepārtraukta, tad funkcija $y=\psi(\lambda(x))$ ir diferencējama punktā $x_0=\varphi(t_0)$, pie tam

$$\boxed{f'(x_0)=\frac{\psi'(t_0)}{\varphi'(t_0)}\/.}$$

$\blacktriangleright$ Saskaņā ar 1.8. teorēmu (par apvērstas funkcijas atvasināšanu) funkcija $t=\lambda(x)$ ir diferencējama punktā $x_0=\varphi(t_0)$, pie tam $\lambda'(x_0)=\frac{1}{\varphi'(t_0)}$.

Saskaņā ar 1.7. teorēmu (par saliktas funkcijas atvasināšanu) funkcija $\;y=\psi(\lambda(x))=f(x)$ ir diferencējama punktā $x_0$, pie tam

$$f'(x_0)=\psi'(\lambda(x_0))\lambda'(x_0)=\psi'(t_0)\lambda'(x_0)=... ...0)\frac{1}{\varphi'(t_0)}=\frac{\psi'(t_0)}{\varphi'(t_0)}\;.\blacktriangleleft$$

4.1. piezīme. 

Ja 4.1. teorēmas nosacījumi ir izpildīti intervāla $(a;b)$ katrā punktā $t$, tad pēc formulas

$$f'(x)=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$$

atrastais atvasinājums, acīmredzot, ir $t$ funkcija, kas definēta šajā intervālā. Šo formulu pieraksta vēl šādā izskatā:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\;.$$

Izmantojot 4.1. teorēmu atkārtoti, var atrast arī augstāku kārtu atvasinājumus parametriski uzdotām funkcijām. Parādīsim, kā atrod otrās kārtas atvasinājumu $\frac{d^2y}{dx^2}$. Var uzskatīt, ka funkcija $\frac{dy}{dx}$ arī ir uzdota parametriski ar vienādojumiem

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\;,\quad x=\varphi(t)\/.$$

Šai parametriski uzdotai funkcijai pielietojot 4.1. teorēmu,^4.1 iegūstam

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)= \frac{\... ...{dx}{dt}- \frac{dy}{dt}\cdot\frac{d^2x}{dt^2}}{\left(\frac{dx}{dt}\right)^3}\;.$$

4.2. piezīme. 

Praktiski $\frac{d^2y}{dx^2}$ atrašanai šo formulu lieto reti, bet lieto to paņēmienu, ar kuru tika iegūta šī formula.

4.1. piemērs. 

Atrast $\frac{dy}{dx}$ un $\frac{d^2y}{dx^2}$ parametriski uzdotai funkcijai

$$\left\{\begin{array}{l} x=\cos t,\\ y=\sin t.\ \end{array}\right.$$

Šīs funkcijas apmierina 4.1. teorēmas nosacījumus katrā no intervāliem $\frac{\pi}{2}k<t<\frac{\pi}{2}(k+1)$, kur $k\in \mathbb{Z}$.

Katrā no šiem intervāliem var atrast $\frac{dy}{dx}$ un $\frac{d^2y}{dx^2}$.

Tā kā $\frac{dx}{dt}=-\sin t$, $\frac{dy}{dt}=\cos t$, tad

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\cos t}{-\sin t}=-\ctg t\;.$$

Uzrakstīsim sistēmu:

$$\left\{\begin{array}{l} \frac{dy}{dx}=-\ctg t,\\ x=\cos t.\ \end{array}\right.$$

Atrodam

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{1}{\sin^2t}\;,\quad \frac{dx}{dt}=-\sin t\;.$$

Tādējādi

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)= \frac{\frac{1}{\sin^2t}}{-\sin t}=-\frac{1}{\sin^3t}\;.$$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 4.2. Līniju parametriskie vienādojumi Augstāk: 4. PARAMETRISKI UZDOTAS FUNKCIJAS UN VEKTORFUNKCIJAS Iepriekšējais: 4. PARAMETRISKI UZDOTAS FUNKCIJAS UN VEKTORFUNKCIJAS