nākamais augstāk iepriekšējais saturs Matemātika DU TSC
Nākamais: 5. Konverģentas skaitļu virknes Augstāk: vallievads2ht Previous: 3.2. Periodiskas funkcijas

4. Apvērstā (inversā) funkcija


4.1. definīcija. 
Funkciju $ f$, kas iegūst katru savu vērtību tikai vienā definīcijas apgabala punktā, sauc par apvēršamu funkciju.

Piemēram, intervālā $ I$ stingri monotona funkcija ir apvēršama šajā intervālā.

4.2. definīcija. 
Funkciju $ g$, kas apvēršamās funkcijas $ f$ vērtību apgabala katrā punktā $ x$ iegūst tādu vērtību $ y$, ka $ f(y)=x$, sauc par funkcijas $ f$ apvērsto (inverso) funkciju.

Tātad apvērsto funkciju $ g$ var definēt tikai apvēršamai funkcijai $ f$, pie tam $ D(g)=E(f)$ un $ E(g)=D(f)$.

Apvēršamai funkcijai $ f$ eksistē vienīgā apvērstā funkcija $ g$, un tās grafiks ir simetrisks funkcijas $ f$ grafikam attiecībā pret taisni $ y=x$.

Lai funkcijai $ y=f(x)$, $ x\in D(f)$, atrastu apvērsto funkciju,
  1. pārliecinās par to, ka funkcija $ y=f(x)$ ir apvēršama tās definīcijas apgabalā4,
  2. atrisina vienādojumu $ y=f(x)$ attiecībā pret $ x:\;
x=g(y)$,
  3. argumentu apzīmē ar $ x$ un funkcijas vērtību - ar $ y:\; y=g(x)$.
4.1. piem{\={e\/}}rs. 
Atrast funkcijas $ f(x)=5^{\frac{x+1}{x}}$ apvērsto funkciju un noteikt tās definīcijas apgabalu.

Dotā funkcija ir apvēršama, tās definīcijas apgabals

$\displaystyle D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\/.$

Lai atrastu funkcijas apvērsto funkciju, jāatrisina vienādojums
$ y=5^{\frac{x+1}{x}}$ attiecībā pret $ x$.

$\displaystyle \frac{x+1}{x}=\log_5y\/,$

$\displaystyle x=\frac{1}{\log_5y-1}\/.$

Argumentu apzīmējot ar $ x$, iegūst

$\displaystyle g(x)=\frac{1}{\log_5x-1}\/.$

Atrod $ D(g)$:

  $\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \log_5x-1\neq 0, \\ x>0, \\ \end{array}\right.\medskip $    
  $\displaystyle \left\{\begin{array}{l} x\neq 5, \\ x>0. \\ \end{array}\right.$    

Tātad $ x\in(0;5)\cup(5;+\infty)$.
4.2. piem{\={e\/}}rs. 
Atrast funkcijas $ f(x)=x^2$ apvērsto funkciju, noteikt tās definīcijas apgabalu un konstruēt dotās un apvērstās funkcijas grafiku.

$ D(f)=\mathbb{R}$. Dotā funkcija nav apvēršama definīcijas apgabalā, tāpēc jāizvēlas funkcijas sašaurinājums, piemēram, uz intervālu $ [0;+\infty)$.

Šajā intervālā funkcija ir augoša, tātad tā ir apvēršama.

No vienādojuma $ y=x^2$ atrodam, ka $ x=\sqrt{y}$ (pirms saknes jāņem $ \lq\lq +''$ zīme, jo $ x>0$) ir dotās funkcijas apvērstā funkcija.

Visbeidzot, $ g(x)=\sqrt{x}$, $ D(g)=[0;+\infty)$.

\includegraphics[height=7cm]{10.eps}

4.1. zīm.


Auditorijā risināmie uzdevumi


Atrast dotajām funkcijām apvērstās funkcijas un noteikt to definīcijas apgabalus. 1. un 4. piemērā konstruēt dotās un apvērstās funkcijas grafiku.

  1. $ f(x)=3^x-5$;
  2. $ f(x)=2^{\frac{x}{x-2}}$;
  3. $ f(x)=\log_5\frac{x-2}{3}$;
  4. $ f(x)=\sqrt{x+8}$;
  5. $ f(x)=\frac{5-x}{5+x}$;
  6. $ f(x)=\frac{8+x^3}{8-x^3}$;
  7. $ f(x)=\arccos\frac{4}{3x-1}$;
  8. $ f(x)=\sin(5x-1)$, ja $ x\in\left[-\frac{\pi}{10}+\frac{1}{5};\frac{\pi}{10}+\frac{1}{5}\right]$;
  9. $ f(x)=\cos^2x-\sin^2x$, ja $ x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$.


Mājas darba uzdevumi

$\displaystyle 1.$ $\displaystyle \;\;f(x)=\sqrt[3]{x-1};$ $\displaystyle 2.$ $\displaystyle \;\;f(x)=(x+2)^2;$    
$\displaystyle 3.$ $\displaystyle \;\;f(x)=\arcctg 3x;$ $\displaystyle 4.$ $\displaystyle \;\;f(x)=1+\ln(x+5);$    
$\displaystyle 5.$ $\displaystyle \;\;f(x)=\log_2\frac{3}{x};$ $\displaystyle 6.$ $\displaystyle \;\;f(x)=x^2-1;$    
$\displaystyle 7.$ $\displaystyle \;\;f(x)=\sin 2x.$      


nākamais augstāk iepriekšējais saturs Matemātika DU TSC
Nākamais: 5. Konverģentas skaitļu virknes Augstāk: vallievads2ht Previous: 3.2. Periodiskas funkcijas

2003-05-15