Matemātika DU TSC
Nākamais: 5. Konverģentas skaitļu virknes Augstāk: vallievads2ht

4. Apvērstā (inversā) funkcija

4.1. definīcija. 

Funkciju $f$, kas iegūst katru savu vērtību tikai vienā definīcijas apgabala punktā, sauc par apvēršamu funkciju.

Piemēram, intervālā $I$ stingri monotona funkcija ir apvēršama šajā intervālā.

4.2. definīcija. 

Funkciju $g$, kas apvēršamās funkcijas $f$ vērtību apgabala katrā punktā $x$ iegūst tādu vērtību $y$, ka $f(y)=x$, sauc par funkcijas $f$ apvērsto (inverso) funkciju.

Tātad apvērsto funkciju $g$ var definēt tikai apvēršamai funkcijai $f$, pie tam $D(g)=E(f)$ un $E(g)=D(f)$.

Apvēršamai funkcijai $f$ eksistē vienīgā apvērstā funkcija $g$, un tās grafiks ir simetrisks funkcijas $f$ grafikam attiecībā pret taisni $y=x$.

Lai funkcijai $y=f(x)$, $x\in D(f)$, atrastu apvērsto funkciju,

1. pārliecinās par to, ka funkcija $y=f(x)$ ir apvēršama tās definīcijas apgabalā⁴,
2. atrisina vienādojumu $y=f(x)$ attiecībā pret $x:\; x=g(y)$,
3. argumentu apzīmē ar $x$ un funkcijas vērtību - ar $y:\; y=g(x)$.

4.1. piemrs. 

Atrast funkcijas $f(x)=5^{\frac{x+1}{x}}$ apvērsto funkciju un noteikt tās definīcijas apgabalu.

Dotā funkcija ir apvēršama, tās definīcijas apgabals

$$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\/.$$

Lai atrastu funkcijas apvērsto funkciju, jāatrisina vienādojums
$y=5^{\frac{x+1}{x}}$ attiecībā pret $x$.

$$\frac{x+1}{x}=\log_5y\/,$$

$$x=\frac{1}{\log_5y-1}\/.$$

Argumentu apzīmējot ar $x$, iegūst

$$g(x)=\frac{1}{\log_5x-1}\/.$$

Atrod $D(g)$:

$$\left\{\begin{array}{l} \log_5x-1\neq 0, \\ x>0, \\ \end{array}\right.\medskip$$

$$\left\{\begin{array}{l} x\neq 5, \\ x>0. \\ \end{array}\right.$$

Tātad $x\in(0;5)\cup(5;+\infty)$.

4.2. piemrs. 

Atrast funkcijas $f(x)=x^2$ apvērsto funkciju, noteikt tās definīcijas apgabalu un konstruēt dotās un apvērstās funkcijas grafiku.

$D(f)=\mathbb{R}$. Dotā funkcija nav apvēršama definīcijas apgabalā, tāpēc jāizvēlas funkcijas sašaurinājums, piemēram, uz intervālu $[0;+\infty)$.

Šajā intervālā funkcija ir augoša, tātad tā ir apvēršama.

No vienādojuma $y=x^2$ atrodam, ka $x=\sqrt{y}$ (pirms saknes jāņem $\lq\lq +''$ zīme, jo $x>0$) ir dotās funkcijas apvērstā funkcija.

Visbeidzot, $g(x)=\sqrt{x}$, $D(g)=[0;+\infty)$.

4.1. zīm.

Auditorijā risināmie uzdevumi

Atrast dotajām funkcijām apvērstās funkcijas un noteikt to definīcijas apgabalus. 1. un 4. piemērā konstruēt dotās un apvērstās funkcijas grafiku.

1. $f(x)=3^x-5$;
2. $f(x)=2^{\frac{x}{x-2}}$;
3. $f(x)=\log_5\frac{x-2}{3}$;
4. $f(x)=\sqrt{x+8}$;
5. $f(x)=\frac{5-x}{5+x}$;
6. $f(x)=\frac{8+x^3}{8-x^3}$;
7. $f(x)=\arccos\frac{4}{3x-1}$;
8. $f(x)=\sin(5x-1)$, ja $x\in\left[-\frac{\pi}{10}+\frac{1}{5};\frac{\pi}{10}+\frac{1}{5}\right]$;
9. $f(x)=\cos^2x-\sin^2x$, ja $x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$.

Mājas darba uzdevumi

$$1. \;\;f(x)=\sqrt[3]{x-1}; 2. \;\;f(x)=(x+2)^2;$$

$$3. \;\;f(x)=\arcctg 3x; 4. \;\;f(x)=1+\ln(x+5);$$

$$5. \;\;f(x)=\log_2\frac{3}{x}; 6. \;\;f(x)=x^2-1;$$

$$7. \;\;f(x)=\sin 2x.$$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 5. Konverģentas skaitļu virknes Augstāk: vallievads2ht