Matemātika DU TSC
Nākamais: 6. Funkcijas robeža Augstāk: vallievads2ht

5. Konverģentas skaitļu virknes

5.1. definīcija. 

Skaitli $a$ sauc par virknes $(a_n)$ robežu, ja jebkuram $\varepsilon>0$ eksistē tāds naturāls skaitlis $N$ (atkarīgs no $\varepsilon$), ka visiem $n>N$ izpildās nevienādība

$$\vert a_n-a\vert<\varepsilon\/.$$

Raksta $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}a_n=a$ un saka, ka virkne $(a_n)$ konverģē uz skaitli $a$.

Atrisinot nevienādību $\vert a_n-a\vert<\varepsilon$ attiecībā uz $a_n$, iegūst:

$$a-\varepsilon<a_n<a+\varepsilon\/.$$

Tas nozīmē, ka visiem $n>N$ $a_n$ pieder punkta $a$ $\varepsilon$ - apkārtnei, t.i., $a_n\in(a-\varepsilon; a+\varepsilon)$. Ārpus šīs apkārtnes atrodas tikai galīgs skaits virknes locekļu.

Virknes locekļus var attēlot kā koordinātu taisnes punktus (5.1. zīm.), var arī konstruēt virknes (kā funkcijas atsevišķa gadījuma) grafiku koordinātu plaknē. Šoreiz koordinātu plaknē iegūst izolētus punktus (5.2. zīm.).

Piemēram, $a_n=\frac{1}{n^2}$ $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=0$. Skaitlim $\varepsilon=0,1$ $N=3$, jo, sākot ar $a_4=\frac{1}{16}$, visi virknes locekļi atradīsies intervālā (-0,1;0,1) (5.1. zīm.).

5.1. zīm.

5.1. piemrs. 

Lietojot virknes robežas definīciju, pierādīt, ka

$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{2n+3}{4n-1}=\frac{1}{2}\/.$$

Skaitlim $\varepsilon=0,1$ atrast atbilstošo $N$.

Pārveido starpību

$$\left\vert a_n-\frac{1}{2}\right\vert=\left\vert\frac{2n+3}{4n-1}... ...right\vert= \left\vert\frac{4n+6-4n+1}{2(4n-1)}\right\vert=\frac{7}{2(4n-1)}\/.$$

Atrisina nevienādību

$$\frac{7}{2(4n-1)}<\varepsilon$$

attiecībā pret $n$:

$$n>\frac{7+2\varepsilon}{8\varepsilon}\/.$$

Ja izvēlas $N=\left[\frac{7+2\varepsilon}{8\varepsilon}\right]$, tad visiem $n>N$ izpildās nevienādība

$$\left\vert a_n-\frac{1}{2}\right\vert<\varepsilon\/.$$

Tādējādi $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=\frac{1}{2}$.

Piemēram, ja $\varepsilon=0,1$, tad

$$N=\left[\frac{7+2\cdot 0,1}{8\cdot 0,1}\right]=\left[\frac{7,2}{0,8}\right]=9\/.$$

Tas nozīmē, ka visi virknes locekļi, sākot ar 10., atrodas punkta $\frac{1}{2}\varepsilon$ -apkārtnē, t.i., intervālā $\left(\frac{2}{5};\frac{3}{5}\right)$.

Dotās virknes robežas ģeometriskā interpretācija ir sniegta 5.2. zīm.

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$a_n$	1,67	1	0,81	0,73	0,68	0,65	0,63	0,61	0,60	0,59
$n$	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
$a_n$	0,58	0,57	0,57	0,56	0,56	0,56	0,55	0,55	0,55	0,54

5.2. zīm.

5.2. piemrs. 

Lietojot virknes robežas definīciju, pierādīt, ka

$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{n-2}-1}{\sqrt{n-2}-2}=1\/.$$

Pārveido starpību

$$\begin{multline*} \vert a_n-1\vert=\left\vert\frac{\sqrt{n-2}-1}{\sqrt{n-2}-2}-... ...{1}{\left\vert\sqrt{n-2}-2\right\vert}=\frac{1}{\sqrt{n-2}-2}\/, \end{multline*}$$

$n>6$.

Atrisina nevienādību

$$\frac{1}{\sqrt{n-2}-2}<\varepsilon,$$

$$\sqrt{n-2}-2>\frac{1}{\varepsilon},$$

$$\sqrt{n-2}>\frac{1}{\varepsilon}+2,$$

$$n-2>\left(\frac{1}{\varepsilon}+2\right)^2,$$

$$n>\left(\frac{1}{\varepsilon}+2\right)^2+2.$$

Ja izvēlas

$$N=\max\Biggl\{\left[\left(\frac{1}{\varepsilon}+2\right)^2+2\right];6\Biggr\}\/,$$

tad visiem $n>N$ izpildās nevienādība $\vert a_n-1\vert<\varepsilon$. Tādējādi
$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=1$.

5.3. piemrs. 

Lietojot virknes robežas definīciju, pierādīt, ka

$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{5^n}{1-5^n}=-1\/.$$

Pārveido starpību

$$\bigl\vert a_n-(-1)\bigr\vert=\left\vert\frac{5^n+1-5^n}{1-5^n}\right\vert=\frac{1}{5^n-1}\/.$$

Atrisina nevienādību

$$\frac{1}{5^n-1}<\varepsilon,$$

$$5^n-1>\frac{1}{\varepsilon},$$

$$5^n>\frac{1}{\varepsilon}+1,$$

$$n>\log_5\left(\frac{1}{\varepsilon}+1\right).$$

Ja izvēlas $N=\Bigl[\log_5\left(\frac{1}{\varepsilon}+1\right)\Bigr]$, tad visiem $n>N$ izpildās nevienādība $\vert a_n+1\vert<\varepsilon$, tādējādi $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=-1$.

Auditorijā risināmie uzdevumi

Lietojot virknes robežas definīciju, pierādīt dotās vienādības. Skaitlim $\varepsilon=0,1$ atrast atbilstošo $N$.

$$1. \;\;\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{3n+1}=\frac{1}{3}; 2. \;\;\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{3n-4}{n+1}=3;$$

$$3. \;\;\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{3n^2-1}{4n^2+1}=\frac{3}{4}; 4. \;\;\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{n+1}-2}{\sqrt{n+1}+2}=1;$$

$$5. \;\;\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{3^n-2}{3^n}=1.$$

Mājas darba uzdevumi

Lietojot virknes robežas definīciju, pierādīt dotās vienādības. Skaitlim $\varepsilon=0,1$ atrast atbilstošo $N$.

$$1. \;\;\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{3n-7}{2n+13}=\frac{3}{2}; 2. \;\;\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{n}+1}{\sqrt{n}-1}=1;$$

$$3. \;\;\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{9-n^3}{1+2n^3}=-\frac{1}{2}; 4. \;\;\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{2^n}{1-2^n}=-1;$$

$$5. \;\;\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{3n^2}{2-n^2}=-3.$$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 6. Funkcijas robeža Augstāk: vallievads2ht