3.2. Periodiskas funkcijas

Apskata funkcijas, kuru definīcijas apgabali apmierina šādu nosacījumu: visiem $x\in D(f)$ arī $(x+nT)\in D(f)$ ( $n\in\mathbb{Z},\;T\neq 0$ ).

3.3. definīcija.

Funkciju

sauc par periodisku funkciju ar periodu $T\neq 0$ , ja katram $x\in D(f)$ ir pareiza vienādība

$\displaystyle f(x+T)=f(x)\/.$

Par funkcijas periodiem der arī skaitļi , kur $n\in\mathbb{Z}$ . Vismazāko no šiem skaitļiem sauc par mazāko pozitīvo periodu².

3.2. piem ${\={e\/}}$ rs.

Pierādīt, ka $f(x)=\sin 2x+\tg x$ ir periodiska funkcija un atrast tās periodu.

$D(f)=\mathbb{R}$ .

Tā kā sinusa periods ir $2\pi$ un tangensa periods ir $\pi$ , tad

$\begin{displaymath}\begin{split}f(x)&=\sin 2x+\tg x=\sin(2x+2\pi)+\tg(x+\pi)=\\ &=\sin 2(x+\pi)+\tg(x+\pi)=f(x+\pi), \end{split}\end{displaymath}$

tātad dotā funkcija ir periodiska, un tās periods $T=\pi$ .

3.3. piem ${\={e\/}}$ rs.

Pierādīt, ka funkcija $f(x)=\sin x^2$ nav periodiska.

Pieņem, ka eksistē tāds skaitlis

, ka visiem $x\in\mathbb{R}$ ir spēkā vienādība

$\displaystyle \sin x^2=\sin(x+T)^2.\eqno{(*)}$

Izvēloties

, iegūst: $0=\sin T^2$ . Izsakot

un ievietojot šo

vērtību vienādībā (*), nonāk pie pretrunas. Tās nozīmē, ka funkcija $f(x)=\sin x^2$ nav periodiska³.

Auditorijā risināmie uzdevumi

Noteikt, vai funkcijas ir periodiskas, periodiskām funkcijām noteikt to periodus.

$\displaystyle 1.$	$\displaystyle \;\;f(x)=4;$	$\displaystyle 2.$	$\displaystyle \;\;f(x)=\sin x+\tg\frac{x}{2};$
$\displaystyle 3.$	$\displaystyle \;\;f(x)=3\cos\lambda x,\;\;\lambda~-\const;$	$\displaystyle 4.$	$\displaystyle \;\;f(x)=\sin\pi x;$
$\displaystyle 5.$	$\displaystyle \;\;f(x)=\sqrt{\tg\frac{x}{2}}.$

Mājas darba uzdevumi

$\displaystyle 1.$	$\displaystyle \;\;f(x)=\ctg\frac{x}{2};$	$\displaystyle 2.$	$\displaystyle \;\;f(x)=\tg(x-3);$
$\displaystyle 3.$	$\displaystyle \;\;f(x)=1+\sin\left(\frac{\pi x}{3}\right);$	$\displaystyle 4.$	$\displaystyle \;\;\sin 2x+2\sin 3x;$
$\displaystyle 5.$	$\displaystyle \;\;f(x)=0,1\cos x+\cos 3x;$	$\displaystyle 6.$	$\displaystyle \;\;f(x)=\sin(wx+\varphi_0),$ kur $\displaystyle w,\varphi_0~- \const.$

2003-05-15