nākamais augstāk iepriekšējais saturs Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.2. Periodiskas funkcijas Augstāk: 3. Reālā mainīgā reālu funkciju klasifikācija Previous: 3. Reālā mainīgā reālu funkciju klasifikācija

3.1. Pāra un nepāra funkcijas


Apskata funkcijas, kuru definīcijas apgabali ir simetriski attiecībā pret koordinātu sākuma punktu, t.i., funkcijas, kurām reizē ar $ x$ definīcijas apgabalam pieder arī $ -x$.

3.1. definīcija. 
Funkciju $ f$ sauc par pāra funkciju, ja $ f(-x)=f(x)$ visiem $ x\in D(f)$.
3.2. definīcija. 
Funkciju $ f$ sauc par nepāra funkciju, ja $ f(-x)=-f(x)$ visiem $ x\in D(f)$.

No šīm definīcijām seko, ka pāra funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret ordinātu asi, bet nepāra funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret koordinātu sākuma punktu.

3.1. piem{\={e\/}}rs. 
Noteikt, vai dotās funkcijas ir pāra vai nepāra funkcijas.
  1. $ f(x)=x^3\cos 5x$,
  2. $ \varphi(t)=\frac{2^t+2^{-t}}{3t^2}+t^42^{-t^2}$,
  3. $ f(x)=\lg(2-x)$.
  1. $ D(f)=\mathbb{R}$, tātad simetrisks attiecībā pret koordinātu sākuma punktu.

    Atrod

    $\displaystyle f(-x)=(-x)^3\cos(-5x)=-x^3\cos 5x=-f(x)\/.$

    Atbilde. Dotā funkcija ir nepāra funkcija.
  2. $ D(\varphi)=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ - simetriska attiecībā pret koordinātu sākuma punktu kopa.

    $\displaystyle \varphi(-t)=\frac{2^{-t}+2^t}{3t^2}+t^42^{-t^2}=\varphi(t)\/.$

    Atbilde. Dotā funkcija ir pāra funkcija.
  3. $ D(f)=(-\infty;2)$ - nav simetrisks attiecībā pret koordinātu sākuma punktu, tāpēc dotā funkcija nevar būt ne pāra, ne nepāra funkcija.


Auditorijā risināmie uzdevumi


Noteikt, vai dotās funkcijas ir pāra vai nepāra funkcijas.

  1. $ f(x)=4-2x^4+6x^6$.
  2. $ f(x)=\frac{x-2}{x^2+4}$.
  3. $ f(x)=\frac{1+2^x}{1-2^x}$.
  4. $ f(x)=\sin^2x-\cos^2x$;
  5. $ f(x)=\frac{\vert x\vert}{x}$.
  6. $ f(x)=\lg\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$.
  7. Funkcija $ y=f(x)$ ir definēta slēgtā intervālā $ [-a;a]$. 3.1. zīmējumā attēlots šīs funkcijas grafiks intervālā $ [0;a]$. Turpināt funkcijas grafiku intervālā $ [-a;0)$, ja zināms, ka
    1. $ f$ - pāra funkcija,
    2. $ f$ - nepāra funkcija.

    \includegraphics[height=7cm]{09.eps}

    3.1. zīm.

  8. Pierādīt, ka divu pāra funkciju reizinājums ir pāra funkcija.

Mājas darba uzdevumi


  1. Noteikt, vai dotās funkcijas ir pāra vai nepāra funkcijas.
    1. $ f(x)=\vert x\vert+3^{x^2}$;
    2. $ f(x)=x^3\sin^2x+\frac{\cos x}{x}$;
    3. $ f(x)=\sin 2x+x^2\sqrt{x}$;
    4. $ \varphi(x)=\lg\frac{3-x}{3+x}$;
    5. $ f(t)=2e^t+t\tg t$.
  2. Pierādīt, ka divu pāra funkciju summa ir pāra funkcija.


nākamais augstāk iepriekšējais saturs Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.2. Periodiskas funkcijas Augstāk: 3. Reālā mainīgā reālu funkciju klasifikācija Previous: 3. Reālā mainīgā reālu funkciju klasifikācija

2003-05-15