Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.2. Periodiskas funkcijas Augstāk: 3. Reālā mainīgā reālu funkciju klasifikācija

3.1. Pāra un nepāra funkcijas

Apskata funkcijas, kuru definīcijas apgabali ir simetriski attiecībā pret koordinātu sākuma punktu, t.i., funkcijas, kurām reizē ar $x$ definīcijas apgabalam pieder arī $-x$.

3.1. definīcija. 

Funkciju $f$ sauc par pāra funkciju, ja $f(-x)=f(x)$ visiem $x\in D(f)$.

3.2. definīcija. 

Funkciju $f$ sauc par nepāra funkciju, ja $f(-x)=-f(x)$ visiem $x\in D(f)$.

No šīm definīcijām seko, ka pāra funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret ordinātu asi, bet nepāra funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret koordinātu sākuma punktu.

3.1. piemrs. 

Noteikt, vai dotās funkcijas ir pāra vai nepāra funkcijas.

1. $f(x)=x^3\cos 5x$,
2. $\varphi(t)=\frac{2^t+2^{-t}}{3t^2}+t^42^{-t^2}$,
3. $f(x)=\lg(2-x)$.

1. $D(f)=\mathbb{R}$, tātad simetrisks attiecībā pret koordinātu sākuma punktu.
   Atrod
   $$f(-x)=(-x)^3\cos(-5x)=-x^3\cos 5x=-f(x)\/.$$
   Atbilde. Dotā funkcija ir nepāra funkcija.
2. $D(\varphi)=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ - simetriska attiecībā pret koordinātu sākuma punktu kopa.
   $$\varphi(-t)=\frac{2^{-t}+2^t}{3t^2}+t^42^{-t^2}=\varphi(t)\/.$$
   Atbilde. Dotā funkcija ir pāra funkcija.
3. $D(f)=(-\infty;2)$ - nav simetrisks attiecībā pret koordinātu sākuma punktu, tāpēc dotā funkcija nevar būt ne pāra, ne nepāra funkcija.

Auditorijā risināmie uzdevumi

Noteikt, vai dotās funkcijas ir pāra vai nepāra funkcijas.

1. $f(x)=4-2x^4+6x^6$.
2. $f(x)=\frac{x-2}{x^2+4}$.
3. $f(x)=\frac{1+2^x}{1-2^x}$.
4. $f(x)=\sin^2x-\cos^2x$;
5. $f(x)=\frac{\vert x\vert}{x}$.
6. $f(x)=\lg\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$.
7. Funkcija $y=f(x)$ ir definēta slēgtā intervālā $[-a;a]$. 3.1. zīmējumā attēlots šīs funkcijas grafiks intervālā $[0;a]$. Turpināt funkcijas grafiku intervālā $[-a;0)$, ja zināms, ka
   1. $f$ - pāra funkcija,
   2. $f$ - nepāra funkcija.

   

   3.1. zīm.

8. Pierādīt, ka divu pāra funkciju reizinājums ir pāra funkcija.

Mājas darba uzdevumi

1. Noteikt, vai dotās funkcijas ir pāra vai nepāra funkcijas.
   1. $f(x)=\vert x\vert+3^{x^2}$;
   2. $f(x)=x^3\sin^2x+\frac{\cos x}{x}$;
   3. $f(x)=\sin 2x+x^2\sqrt{x}$;
   4. $\varphi(x)=\lg\frac{3-x}{3+x}$;
   5. $f(t)=2e^t+t\tg t$.
2. Pierādīt, ka divu pāra funkciju summa ir pāra funkcija.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.2. Periodiskas funkcijas Augstāk: 3. Reālā mainīgā reālu funkciju klasifikācija