nākamais augstāk iepriekšējais saturs Matemātika DU TSC
Nākamais: 11. Pielikums Augstāk: 10. Vienpusējās robežas, to izskaitļošana. Funkcijas Previous: 10.1. Funkcijas vienpusējās robežas

10.2. Funkcijas pārtraukuma punkti un to klasifikācija


No punktā nepārtrauktas funkcijas definīcijas seko, ka funkcija ir nepārtraukta punktā $ x_0\in D(f)$ tad un tikai tad, ja

$\displaystyle \lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\ x<x_0}}f(x)= \lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\ x>x_0}}f(x)=f(x_0)\/.$

10.3. definīcija. 
Punktu $ x_0\in D(f)$ sauc par funkcijas pārtraukuma punktu, ja šajā punktā funkcija nav nepārtraukta.

Tātad visi funkcijas definīcijas apgabala punkti iedalās funkcijas pārtraukuma un nepārtrauktības punktos.

10.4. definīcija. 
Funkcijas pārtraukuma punktu $ x_0$ sauc par tās novēršama rakstura pārtraukuma punktu, ja punktā $ x_0$ eksistē galīgas un vienādas funkcijas vienpusējās robežas, bet tās nav vienādas ar funkcijas vērtību šinī punktā, t.i.,

$\displaystyle \lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\ x<x_0}}f(x)= \lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\ x>x_0}}f(x)\neq f(x_0)\/.$

10.5. definīcija. 
Funkcijas pārtraukuma punktu $ x_0$ sauc par tās 1. veida pārtraukuma punktu, ja punktā $ x_0$ eksistē galīgas un dažādas funkcijas vienpusējās robežas, t.i.,

$\displaystyle \lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\ x<x_0}}f(x)\neq \lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\ x>x_0}}f(x)$

(skat. 9).
10.6. definīcija. 
Funkcijas pārtraukuma punktu, kas nav ne funkcijas novēršama rakstura pārtraukuma punkts, ne funkcijas 1. veida pārtraukuma punkts, sauc par funkcijas 2. veida pārtraukuma punktu.

Tātad funkcijas II veida pārtraukuma punkti ir funkcijas tie pārtraukuma punkti, kuros vismaz viena no šīs funkcijas vienpusējām robežām ir bezgalīga vai neeksistē.

Uzskatāmības labad var izveidot šādu shēmu:

\begin{figure} % latex2html id marker 2289 \normalsize\centering\begin{center} $... ...i} \\ {}\\ \end{array}$}}} \end{diagram}$\end{center}\caption {} \end{figure}

10.2. piem{\={e\/}}rs. 
Atrast funkcijas

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ccl} 2-x, & \text{ja} & x\leq 0, \\ \... ...\frac{\pi}{2}, \\ 0, & \text{ja} & x\geq\frac{\pi}{2} \\ \end{array}\right.$

pārtraukuma punktus un noteikt to veidu. Konstruēt funkcijas shematisku grafiku.

Dotās funkcijas definīcijas apgabals $ D(f)=\mathbb{R}$.

Katrā no intervāliem $ (-\infty;0)$, $ \left(0;\frac{\pi}{2}\right)$, $ \left(\frac{\pi}{2};+\infty\right)$ funkcija ir nepārtraukta, jo ir uzdota ar nepārtrauktām funkcijām, atbilstoši $ y=2-x$,
$ y=\cos x$, $ y=0$.

Atliek izpētīt funkcijas raksturu punktos $ x=0$ un $ x=\frac{\pi}{2}$.

Atrod vienpusējās robežas funkcijai punktā $ x=0$.

Tā kā $ f(x)=2-x$, kad $ x<0$, tad

$\displaystyle \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ x<0}}f(x)= \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ x<0}}(2-x)=2\/.$

Tā kā $ f(x)=\cos x$, kad $ 0<x<\frac{\pi}{2}$, tad

$\displaystyle \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ x>0}}f(x)= \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ x>0}}\cos x=1\/.$

Šoreiz

$\displaystyle \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ x<0}}f(x)\neq \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ x>0}}f(x)\/,$

tāpēc $ x=0$ ir funkcijas I veida pārtraukuma punkts.

Atrod vienpusējās robežas funkcijai punktā $ x=\frac{\pi}{2}$:

$\displaystyle \lim\limits_{\substack{x\rightarrow\frac{\pi}{2}\\ x<\frac{\pi}{... ...x)= \lim\limits_{\substack{x\rightarrow\frac{\pi}{2}\\ x>\frac{\pi}{2}}}0=0\/.$

$ f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$.

Funkcija ir nepārtraukta punktā $ x=\frac{\pi}{2}$, jo

$\displaystyle \lim\limits_{\substack{x\rightarrow\frac{\pi}{2}\\ x<\frac{\pi}{... ...htarrow\frac{\pi}{2}\\ x>\frac{\pi}{2}}}f(x)= f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\/.$

Atzīmēsim, ka punktā $ x=0$ funkcija ir nepārtraukta no kreisās puses (10.2. zīm.).

\includegraphics[height=7cm]{18.eps}

10.2. zīm.

10.3. piem{\={e\/}}rs. 
Atrast funkcijas

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ccl} x, & \text{ja} & x\leq 0, \\ \frac{1}{x}, & \text{ja} & x>0, \\ \end{array}\right.$

pārtraukuma punktus un noteikt to veidu. Konstruēt funkcijas shematisku grafiku.

10.3. piemērā dotās funkcijas definīcijas apgabals $ D(f)=\mathbb{R}$. Katrā no intervāliem $ (-\infty;0)$ un $ (0;+\infty)$ funkcija ir nepārtraukta.

Atrod vienpusējās robežas funkcijai punktā $ x=0$:

$\displaystyle \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ x<0}}f(x)= \lim\limits_{... ...x>0}}f(x)= \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ x>0}}\frac{1}{x}=+\infty\/.$

Pie tam, $ f(0)=0$, tātad punkts $ x=0$ ir funkcijas $ f(x)$ 2. veida pārtraukuma punkts.

Arī šoreiz punktā $ x=0$ funkcija ir nepārtraukta no kreisās puses, jo

$\displaystyle \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ x<0}}f(x)=f(0)=0$

(skat. 10.3. zīm.).

\includegraphics[height=7cm]{19.eps}

10.3. zīm.

10.4. piem{\={e\/}}rs. 
Atrast funkcijas

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ccl} 2^x, & \text{ja} & x<1, \\ -3, & \text{ja} & x=1, \\ \frac{4}{3-x}, & \text{ja} & x>1, \\ \end{array}\right.$

pārtraukuma punktus un noteikt to veidu. Konstruēt funkcijas shematisku grafiku.

10.4. piemērā dotās funkcijas $ D(f)=\mathbb{R}\setminus\{3\}$.

Šoreiz atrod funkcijas vienpusējās robežas punktos $ x=1$ un $ x=3$.

$\displaystyle \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 1\\ x<1}}f(x)= \lim\limits_{... ...\\ x>1}}f(x)= \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 1\\ x>1}}\frac{4}{3-x}=2\/;$

$ f(1)=-3$.

Tātad

$\displaystyle \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 1\\ x<1}}f(x)= \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 1\\ x>1}}f(x)\neq f(1)\/.$

Punkts $ x=1$ ir funkcijas novēršama rakstura pārtraukuma punkts.

$\displaystyle \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 3\\ x<3}}f(x)= \lim\limits_{... ...3}}f(x)= \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 3\\ x>3}}\frac{4}{3-x}=-\infty\/.$

Punkts $ x=3$ nav funkcijas pārtraukuma punkts, jo tas nepieder tās definīcijas apgabalam. Dotās funkcijas shematisks grafiks ir attēlots 10.4. zīm.

\includegraphics[height=8cm]{19a.eps}

10.4. zīm.

Auditorijā risināmie uzdevumi


  1. Lietojot funkciju shematiskus grafikus, izpētīt funkcijas raksturu punktā $ x_0$.

    \includegraphics[height=7cm]{20.eps}

    10.5. zīm.

    \includegraphics[height=7cm]{21.eps}

    10.6. zīm.



    \includegraphics[height=7cm]{22.eps}

    10.7. zīm.

    \includegraphics[height=7cm]{23.eps}

    10.8. zīm.



    \includegraphics[height=7cm]{24.eps}

    10.9. zīm.

    \includegraphics[height=7cm]{25.eps}

    10.10. zīm.



    \includegraphics[height=7cm]{26.eps}

    10.11. zīm.

    \includegraphics[height=7cm]{27.eps}

    10.12. zīm.



    \includegraphics[height=7cm]{28.eps}

    10.13. zīm.

    \includegraphics[height=7cm]{29.eps}

    10.14. zīm.

  2. Atrast funkciju pārtraukuma punktus un noteikt to veidu; konstruēt funkciju shematiskus grafikus.

$\displaystyle ($a$\displaystyle )$ $\displaystyle \;\;f(x)=\frac{x^2-25}{x-5};$ $\displaystyle ($b$\displaystyle )$ $\displaystyle \;\;f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{\vert x\vert}{x}, & \text{ja} & x\neq 0, \\ 0, & \text{ja} & x=0; \\ \end{array}\right.$    
$\displaystyle ($c$\displaystyle )$ $\displaystyle \;\;f(x)=\frac{3}{x^2+5x};$ $\displaystyle ($d$\displaystyle )$ $\displaystyle \;\;f(x)=\frac{5x}{2x^2+5x-3};$    
$\displaystyle ($e$\displaystyle )$ $\displaystyle \;\;f(x)=3^{\frac{1}{x-5}};$ $\displaystyle ($f$\displaystyle )$ $\displaystyle \;\;f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{x^3-1}{x-1}, & \text{ja} & x\neq 1,\medskip\\ 5, & \text{ja} & x=1; \\ \end{array}\right.$    
$\displaystyle ($g$\displaystyle )$ $\displaystyle \;\;f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{1}{x-1}, & \text{ja} & x\leq 3, \medskip\\ 2x-\frac{11}{2}, & \text{ja} & x>3; \end{array}\right.$ $\displaystyle ($h$\displaystyle )$ $\displaystyle \;\;f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{1}{x^2-5x}, & \text{ja} & x\neq 0,\medskip\\ 3, & \text{ja} & x=0;\\ \end{array}\right.$    
$\displaystyle ($i$\displaystyle )$ $\displaystyle \;\;f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} x^2, & \text{ja} & x<1,\medskip\\ 2x-1, & \text{ja} & x\geq 1;\\ \end{array}\right.$ $\displaystyle ($j$\displaystyle )$ $\displaystyle \;\;f(x)=\left\{\begin{array}{ccl} -\frac{1}{x-1}, & \text{ja} & ... ..., & \text{ja} & 0<x<1, \\ 2, & \text{ja} & 1\leq x\leq 2; \\ \end{array}\right.$    
$\displaystyle ($k$\displaystyle )$ $\displaystyle \;\;f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{2}{x}, & \text{ja} & x\leq 2, \\ \ln(x-2), & \text{ja} & x>2; \\ \end{array}\right.$ $\displaystyle ($l$\displaystyle )$ $\displaystyle \;\;f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} \cos\frac{\pi}{2}x, & \text{ja} & x<0, \\ x-1, & \text{ja} & x\geq 0; \\ \end{array}\right.$    
$\displaystyle ($m$\displaystyle )$ $\displaystyle \;\;f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} x, & \text{ja} & \vert x\vert<... ..., & \text{ja} & \vert x\vert>1, \\ -1, & \text{ja} & x=1; \\ \end{array}\right.$ $\displaystyle ($n$\displaystyle )$ $\displaystyle \;\;f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} \sin\frac{1}{x}, & \text{ja} & x<0, \\ x+1, & \text{ja} & x\geq 0; \\ \end{array}\right.$    
$\displaystyle ($0$\displaystyle )$ $\displaystyle \;\;f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} \tg x, & \text{ja} & \vert x\v... ...rac{1}{x^2}, & \text{ja} & \vert x\vert\geq\frac{\pi}{2}. \\ \end{array}\right.$      


Mājas darba uzdevumi


Atrast funkciju pārtraukuma punktus un noteikt to veidu. Konstruēt shematisku funkcijas grafiku.

  1. $ f(x)=\frac{x^2-4}{x+2}$;
  2. $ f(x)=\frac{1-x}{x^2-5x+6}$;
  3. $ f(x)=e^{\frac{1}{x}}$;
  4. $ f(x)=\left\{\begin{array}{ccl} 2-x^2, & \text{ja} & x\leq 0, \\ \cos x, & \t... ...ac{3\pi}{2}, \\ 0, & \text{ja} & x\geq\frac{3\pi}{2}; \\ \end{array}\right.$
  5. $ f(x)=\left\{\begin{array}{ccl} x^3+1, & \text{ja} & x\leq 1, \\ x^2, & \text{ja} & x>1; \\ \end{array}\right.$
  6. $ f(x)=\left\{\begin{array}{ccl} -x^2, & \text{ja} & x<0, \\ 3, & \text{ja} & x=0, \\ \frac{1}{x^2}, & \text{ja} & x>0; \\ \end{array}\right.$
  7. $ f(x)=\left\{\begin{array}{ccl} -x^3+1, & \text{ja} & x<-1, \\ 0, & \text{ja} & -1<x<0, \\ \sqrt{x}, & \text{ja} & x\geq 0; \\ \end{array}\right.$
  8. $ f(x)=\left\{\begin{array}{ccl} \frac{1}{x+2}, & \text{ja} & -1\leq x<1, \\ x^2+1, & \text{ja} & x\geq 1; \\ \end{array}\right.$
  9. $ f(x)=\left\{\begin{array}{ccl} x, & \text{ja} & x\leq 0, \\ 1-x, & \text{ja} & 0<x\leq 1, \\ \frac{1}{1-x}, & \text{ja} & x>1; \\ \end{array}\right.$
  10. $ f(x)=\left\{\begin{array}{ccl} 5^x, & \text{ja} & -1\leq x<1, \\ x-1, & \text{ja} & 1<x\leq 4, \\ 1, & \text{ja} & x=1. \\ \end{array}\right.$

nākamais augstāk iepriekšējais saturs Matemātika DU TSC
Nākamais: 11. Pielikums Augstāk: 10. Vienpusējās robežas, to izskaitļošana. Funkcijas Previous: 10.1. Funkcijas vienpusējās robežas

2003-05-15