Matemātika DU TSC
Nākamais: 10.2. Funkcijas pārtraukuma punkti un to Augstāk: 10. Vienpusējās robežas, to izskaitļošana. Funkcijas

10.1. Funkcijas vienpusējās robežas

10.1. definīcija. 

Punktu $A$ sauc par funkcijas $f$ robežu punktā $x=a$ ( $a\neq+\infty$) no labās puses, ja punkta $A$ patvaļīgai apkārtnei $U(A)$ eksistē punkta $x=a$ tāda apkārtne $U(a)$, ka visiem $x>a$ un $x\in U(a)$ izpildās sakarība: $f(x)\in U(A)$.

Apzīmē:

$$\lim\limits_{\substack{x\rightarrow a\\ x>a}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow{a+0}}f(x) =f(a+0)\/.$$

Analogi definē arī funkcijas robežu punktā no kreisās puses. Acīmredzami, ja funkcijai $f$ punktā $a$ eksistē vienādas vienpusējās robežas, tad šajā punktā tai eksistē robeža, kas ir vienāda ar tās vienpusējām robežām. Ir spēkā arī apgrieztais apgalvojums.

10.2. definīcija. 

Funkciju $f$ sauc par nepārtrauktu punktā $a\in D(f)$ no kreisās puses (no labās puses), ja

$$\lim\limits_{\substack{x\rightarrow a\\ x<a}}f(x)=f(a)\;\; (\lim\limits_{\substack{x\rightarrow a\\ x>a}}f(x)=f(a))\/.$$

10.1. piemrs. 

$\phantom{a}$

1. $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 2\\ x>2}}\frac{\displaystyle{4}}{\displaystyle{(x-2)^3}}=+\infty$,
   jo $(x-2)^3$ ir pozitīva bezgalīgi maza funkcija, kad $x\rightarrow 2$;
   $$\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 2\\ x<2}}\frac{4}{(x-2)^3}=-\infty\/,$$
   jo $(x-2)^3$ ir negatīva bezgalīgi maza funkcija, kad $x\rightarrow 2$.
2. $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ x<0}}\left(6^{\frac{1}{x}}+5\right)=5$,
   jo $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ x<0}}6^{\frac{1}{x}}=0$ (ja $x\rightarrow 0$, bet $x<0$, tad $\frac{1}{x}$ ir negatīva bezgalīgi liela funkcija);
   $$\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ x>0}}\left(6^{\frac{1}{x}}+5\right)=+\infty\/,$$
   jo $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ x>0}}6^{\frac{1}{x}}=+\infty$ (ja $x\rightarrow 0$, bet $x>0$, tad $\frac{1}{x}$ ir pozitīva bezgalīgi liela funkcija).
3. $f(x)=\left\{\begin{array}{ccl} -\frac{1}{x-1}, & \text{ja} & x<0, \\ 0, & \t... ...\text{ja} & 0<x<1, \\ 2, & \text{ja} & 1\leq x\leq 2. \\ \end{array}\right.$

   $$\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ x<0}}f(x)= \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ x<0}}\left(-\frac{1}{x-1}\right)=1, \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ x>0}}f(x)= \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ x>0}}x=0,$$

   $$\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 1\\ x<1}}f(x)= \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 1\\ x<1}}x=1, \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 1\\ x>1}}f(x)= \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 1\\ x>1}}2=2.$$

   
   

Auditorijā risināmie uzdevumi

1. Atrast vienpusējās robežas funkcijām

   $$1. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\frac{\pi}{4}-0}\tg 2x; 2. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\frac{\pi}{4}+0}\tg 2x;$$

   $$3. \;\;\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 2\\ x<2}}\frac{\lg(2-x)}{2-x}; 4. \;\;\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 1\\ x>1}}\log_7\log_4x;$$

   $$5. \;\;\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 1\\ x<1}}\frac{1}{1+2^{\frac{1}{x-1}}}; 6. \;\;\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 1\\ x>1}}\frac{1}{1+2^{\frac{1}{x-1}}};$$

   $$7. \;\;\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ x>0}}\left(\frac{1}{\log_3x}+2\arccos x\right).$$

   
   

2. Atrast vienpusējās robežas punktos $x=0$ un $x=\frac{\pi}{2}$ funkcijai
   $$f(x)=\left\{\begin{array}{ccl} \frac{1}{x}, & \text{ja} & x<0, \\... ...x<\frac{\pi}{2}, \\ 0, & \text{ja} & x>\frac{\pi}{2}. \\ \end{array}\right.$$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 10.2. Funkcijas pārtraukuma punkti un to Augstāk: 10. Vienpusējās robežas, to izskaitļošana. Funkcijas