nākamais augstāk iepriekšējais saturs Matemātika DU TSC
Nākamais: 8 Bezgalīgi mazas funkcijas un to Augstāk: vallievads2ht Previous: 6.2. Funkcijas bezgalīga robeža

7. Robežu izskaitļošana


Robežu izskaitļošanai izmanto šādas galīgu robežu īpašības.

  1. Ja eksistē galīga robeža $ \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=A$ $ (A\in\mathbb{R})$, tad $ f$ ir ierobežota funkcija punkta $ x=a$ apkārtnē.
  2. Ja funkcija $ f$ ir konstanta punkta $ x=a$ apkārtnē, t.i., visiem $ x\in U(a)$ $ f(x)=k~-\const$, tad $ \lim\limits_{x\rightarrow
a}f(x)=k$.
  3. Ja funkcijai $ f$ eksistē galīga robeža $ \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=A$, tad eksistē arī robeža šīs funkcijas modulim $ \vert f\vert$, pie tam $ \lim\limits_{x\rightarrow
a}\bigl\vert f(x)\bigr\vert=\vert A\vert$.
  4. Ja $ \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=A$ $ (a\in\mathbb{R})$, tad $ \lim\limits_{x\rightarrow
a}\bigl(f(x)-A\bigr)=0$.
  5. Ja eksistē galīgas robežas $ \lim\limits_{x\rightarrow
a}f(x)=A_1$ un $ \lim\limits_{x\rightarrow
a}g(x)=A_2$, tad eksistē galīga robeža šo funkciju summai, pie tam

    $\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=A_1+A_2\/.$

  6. Ja eksistē galīga robeža $ \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=A$, tad eksistē galīga robeža šīs funkcijas reizinājumam ar konstanti $ k$, pie tam $ \lim\limits_{x\rightarrow
a}\bigl(kf(x)\bigr)=kA$.
  7. Ja funkcija $ f$ definēta un ierobežota punkta $ x=a$ kādā apkārtnē un funkcijai $ g$ eksistē robeža $ \lim\limits_{x\rightarrow
a}g(x)=0$, tad eksistē robeža šo funkciju reizinājumam, pie tam

    $\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(f(x)\cdot g(x)\bigr)=0\/.$

  8. Ja eksistē galīgas robežas $ \lim\limits_{x\rightarrow
a}f(x)=A_1$ un $ \lim\limits_{x\rightarrow
a}g(x)=A_2$, tad eksistē galīga robeža šo funkciju reizinājumam, pie tam

    $\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(f(x)\cdot g(x)\bigr)=A_1\cdot A_2\/.$

  9. Ja eksistē galīgas robežas $ \lim\limits_{x\rightarrow
a}f(x)=A_1$ un $ \lim\limits_{x\rightarrow
a}g(x)=A_2$, pie tam $ A_2\neq 0$, tad eksistē galīga robeža funkcijai $ \frac{f}{g}$, pie tam

    $\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A_1}{A_2}\/.$

  10. Ja eksistē robežas $ \lim\limits_{x\rightarrow
a}\varphi(x)=b$, $ \lim\limits_{u\rightarrow
b}f(u)=B$ un salikta funkcija $ f\bigl(\varphi(x)\bigr)$ ir definēta punkta $ x=a$ pārdurtā apkārtnē, pie tam šajā apkārtnē $ \varphi(x)\neq b$, tad punktā $ x=a$ eksistē robeža saliktai funkcijai $ f\bigl(\varphi(x)\bigr)$, un šī robeža ir $ B$, t.i.,

    $\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}f\bigl(\varphi(x)\bigr)=B\/.$

Tā kā virkne ir funkcijas īpašs gadījums, tad visas šīs īpašības ir spēkā arī virknēm.

Var būt gadījumi, kad robežu izskaitļošana, izmantojot iepriekš uzskaitītās īpašības, nav iespējama.
  1. Ja

    $\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow
a}\varphi(x)=0\/,$

    tad robežas

    $\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow
a}\frac{f(x)}{\varphi(x)}$

    gadījumā 9. īpašību pielietot nedrīkst un runā par `` $ \frac{0}{0}$'' veida nenoteiktību.
  2. Ja

    $\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow
a}\varphi(x)=\infty\/,$

    tad robežas

    $\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow
a}\frac{f(x)}{\varphi(x)}$

    gadījumā sastopas ar `` $ \frac{\infty}{\infty}$'' veida nenoteiktību.
  3. Skaitļojot robežu $ \lim\limits_{x\rightarrow
a}\bigl(f(x)-\varphi(x)\bigr)$, kur $ \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)$ un $ \lim\limits_{x\rightarrow
a}\varphi(x)$ ir bezgalības ar vienādām zīmēm, sastopas ar `` $ \infty-\infty$'' veida nenoteiktību.
  4. Eksistē nenoteiktības, kas ir sastītas ar $ \lim\limits_{x\rightarrow
a}\bigl(f(x)\bigr)^{\varphi(x)}$ atrašanu
    $ (1^\infty,0^0,\infty^0)$.

Nenoteiktības var novērst,

  1. veicot algebriskus vai trigonometriskus pārveidojumus (funkciju sadalot reizinātājos vai saskaitāmajos, vienādojot daļu saucējus, atņemot vai pieskaitot kādu izteiksmi, dalot un reizinot ar kādu funkciju, iznesot kopīgo reizinātāju pirms iekavām, utt.),
  2. atsevišķas funkcijas aizstājot ar ekvivalentām bezgalīgi mazām funkcijām,
  3. izmantojot tā saucamās ``ievērojamās robežas'':
    1. $ \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$,
    2. $ \lim\limits_{x\rightarrow
0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$,



      $ \lim\limits_{x\rightarrow
\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$,

    3. $ \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\log_a(1+x)}{x}=\frac{1}{\ln
a}$,



      $ \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$,

    4. $ \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln
a\quad(a>0)$,



      $ \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}=1$,

    5. $ \lim\limits_{x\rightarrow
0}\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha$.

Nenoteiktību `` $ 0\cdot\infty$'' viegli var pārveidot par vienu no nenoteiktībām `` $ \frac{0}{0}$'' vai `` $ \frac{\infty}{\infty}$''. Piemēram, ja $ \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=0$ un $ \lim\limits_{x\rightarrow a}\varphi(x)=\infty$, tad reizinājumu $ f\cdot\varphi$ pārveido šādi:

$\displaystyle f\cdot\varphi=\frac{f}{\frac{1}{\varphi}}\,.$

Tādā veidā nenoteiktība `` $ 0\cdot\infty$'' tiek pārveidota par nenoteiktību `` $ \frac{0}{0}$''.

Nenoteiktību `` $ \infty-\infty$'' var pārveidot par nenoteiktību `` $ \frac{0}{0}$'' šādi:

$\displaystyle f-\varphi=\frac{\frac{1}{\varphi}-\frac{1}{f}}{\frac{1}{f\cdot\varphi}}\,.$

Lietojot logaritmēšanu, nenoteiktības ``$ 1^\infty$'', ``$ 0^0$'', ``$ \infty^0$'' var pārveidot par nenoteiktību `` $ 0\cdot\infty$''. Par šāda veida nenoteiktību tās var arī pārveidot, uzrakstot funkciju $ f^\varphi$ šādi:

$\displaystyle f^\varphi=e^{\varphi\ln f}\/.$

7.1. piem{\={e\/}}rs. 
Atrast

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^3-4x^2+x+6}{x^2-4}\/.$

Tā kā

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 2}(x^3-4x^2+x+6)=0$

un

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 2}(x^2-4)=0\/,$

tad šajā piemērā sastopas ar nenoteiktību `` $ \frac{0}{0}$''. Lai to novērstu, sadala skaitītāju un saucēju reizinātājos, saīsina daļu ar $ (x-2)$ (kas šoreiz tiecas uz 0), un nenoteiktība tiek novērsta:

\begin{multline*}
\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^3-4x^2+x+6}{x^2-4}=
\lim...
...=\lim\limits_{x\rightarrow
2}\frac{x^2-2x-3}{x+2}=-\frac{3}{4}.
\end{multline*}

7.2. piem{\={e\/}}rs. 
Atrast

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+5x}-\sqrt{1+3x}}{x}\/.$

Šis piemērs satur nenoteiktību `` $ \frac{0}{0}$''. Lai to novērstu, ``pārnes'' iracionalitāti no daļas skaitītāja uz saucēju, reizinot skaitītāju un saucēju ar skaitītājam saistīto izteiksmi, t.i., ar $ \left(\sqrt{1+5x}+\sqrt{1+3x}\right)$:

\begin{multline*}
\lim\limits_{x\rightarrow
0}\frac{\sqrt{1+5x}-\sqrt{1+3x}}{x...
...\left(\sqrt{1+5x}+\sqrt{1+3x}\right)}=\\
=2\cdot\frac{1}{2}=1.
\end{multline*}

7.3. piem{\={e\/}}rs. 
Atrast

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt[3]{10-x}-2}{x-2}\/.$

Šis piemērs satur nenoteiktību `` $ \frac{0}{0}$''. Lai to novērstu, skaitītāju papildina līdz divu skaitļu kubu starpībai, reizinot daļas skaitītāju un saucēju ar $ \left(\sqrt[3]{(10-x)^2}+2\sqrt[3]{10-x}+4\right)$ (skat.5; tādā veidā iracionalitāte no skaitītāja tiek ``pārnesta'' uz saucēju):

\begin{multline*}
\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt[3]{10-x}-2}{x-2}
=\l...
...sqrt[3]{10-x}\right)^2+
2\sqrt[3]{10-x}+4\Bigr)}=-\frac{1}{12}.
\end{multline*}

7.4. piem{\={e\/}}rs. 
Atrast

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{2x^3+3x+5}{3x^3-x^2+3}\/.$

Šis piemērs satur nenoteiktību `` $ \frac{\infty}{\infty}$''. Lai to novērstu, skaitītāja un saucēja polinomus jādala ar $ x$ augstāko pakāpi (šoreiz ar $ x^3$):

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{2x^3+3x+5}{3x^3-x^2+3}=
\li...
...\frac{5}{x^3}}
{3-\frac{1}{x}+\frac{3}{x^3}}=\frac{2+0+0}{3-0+0}=\frac{2}{3}\/.$

7.5. piem{\={e\/}}rs. 
Atrast $ \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x-\sqrt{x^2-3}\right)$.

Šis piemērs satur nenoteiktību `` $ \infty-\infty$''. Lai to novērstu, doto funkciju reizina un dala ar tās saistīto izteiksmi, t.i., ar $ \left(x+\sqrt{x^2-3}\right)$:

\begin{multline*}
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-3}\right)...
...=
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{3}{x+\sqrt{x^2-3}}=0.
\end{multline*}

7.6. piem{\={e\/}}rs. 
Atrast $ \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^2}$.

Šis piemērs satur nenoteiktību `` $ \frac{0}{0}$''. Lai to novērstu, iepriekš izsakot $ 1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}$, izmanto pirmo ievērojamo robežu, t.i.,

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin
x}{x}=1\,.$

\begin{multline*}
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim\limits_...
...{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2=\frac{1}{2}\cdot
1^2=\frac{1}{2}.
\end{multline*}

7.7. piem{\={e\/}}rs. 
Atrast $ \lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{x^2}\right)^x$.

Šis piemērs satur nenoteiktību ``$ 1^\infty$''. Lai to novērstu, izmanto otro ievērojamo robežu, t.i.,

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e\/.$

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{x^2}\right)^x=
\...
...iggr)^{\frac{x}{-x^2}}=
e^{-\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}}=
e^0=1$

(skat. 6).
7.8. piem{\={e\/}}rs. 
Atrast $ \lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{2x+3}{2x+1}\right)^{x+1}$.

Šis piemērs satur nenoteiktību ``$ 1^\infty$''. lai to novērstu, izmanto otro ievērojamo robežu. Uzdevumu var atrisināt ar diviem paņēmieniem.

1. paņēmiens.

\begin{multline*}
\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{2x+3}{2x+1}\right...
...igr)^{\frac{1}{2}}}
=\frac{e^{\frac{3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}=e.
\end{multline*}

2. paņēmiens.

\begin{multline*}
\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{2x+3}{2x+1}\right...
...\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{2x}}}=e^1=e.
\end{multline*}

7.9. piem{\={e\/}}rs. 
Atrast $ \lim\limits_{x\rightarrow
0}(1-3x)^{\frac{1}{x}}$.

Šis piemērs satur nenoteiktību ``$ 1^\infty$''. Lai to novērstu, izmanto otro ievērojamo robežu, šoreiz

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e\/.$

\begin{multline*}
\lim\limits_{x\rightarrow
0}(1-3x)^{\frac{1}{x}}=\lim\limits...
...x\rightarrow
0}\left((1-3x)^{-\frac{1}{3x}}\right)^{-3}=e^{-3}.
\end{multline*}

7.10. piem{\={e\/}}rs. 
Atrast $ \lim\limits_{x\rightarrow 1}(1-x)\tg\frac{\pi
x}{2}$.

Šis piemērs satur nenoteiktību `` $ 0\cdot\infty$''.

\begin{multline*}
\lim\limits_{x\rightarrow 1}(1-x)\tg\frac{\pi x}{2}=
\begin{...
...}{2}}{\left(\tg\frac{\pi}{2}t\right)\frac{\pi}{2}}=\frac{2}{\pi}
\end{multline*}

(skat. 7)

7.11. piem{\={e\/}}rs. 
Atrast $ \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+2x)}{\sin
3x}$.

Šis piemērs satur nenoteiktību `` $ \frac{0}{0}$''. Lai to novērstu, lieto robežu
$ \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$ un pirmo ievērojamo robežu:

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+2x)}{\sin
3x}=\lim\limits...
...\ln(1+2x)}{2x}}{\frac{\sin 3x}{3x}}=
\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{1}=\frac{2}{3}\/.$

Auditorijā risināmie uzdevumi


Atrast robežas

$\displaystyle 1.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow -1}\frac{x^2+5x-3}{\log_2(x^2+1)};$ $\displaystyle 2.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{x}{\lg\vert x\vert}+2\cos x\right);$    
$\displaystyle 3.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}(\lg x-2^{-x});$ $\displaystyle 4.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow -\frac{\pi}{4}}\frac{\cos x+\sin x}{\cos 2x};$    
$\displaystyle 5.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2};$ $\displaystyle 6.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{3-x}{x^3-27};$    
$\displaystyle 7.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2-3x};$ $\displaystyle 8.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow -1}\frac{3x^2+2x-1}{-x^2+x+2};$    
$\displaystyle 9.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow -2}\left(\frac{1}{2+x}-\frac{12}{8+x^3}\right);$ $\displaystyle 10.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\frac{\pi}{6}}\frac{2\sin^2x+\sin x-1}{2\sin^2x-3\sin x+1};$    
$\displaystyle 11.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{3-\sqrt{x+9}}{x};$ $\displaystyle 12.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow -5}\frac{x+5}{\sqrt{x+30}+x};$    
$\displaystyle 13.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt{4x+1}-3}{\sqrt{x+2}-2};$ $\displaystyle 14.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow -2}\frac{\sqrt[3]{x-6}+2}{2+x};$    
$\displaystyle 15.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1};$ $\displaystyle 16.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1};$    
$\displaystyle 17.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{2x^3+1}{3x^4+2x^2-1};$ $\displaystyle 18.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{0,1n^5-n^3+1}{2n^3+3n^2};$    
$\displaystyle 19.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{(2x-3)(3x+5)(4x-6)}{3x^3+x-1};$ $\displaystyle 20.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{\sqrt[3]{x^3+10}};$    
$\displaystyle 21.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{(n+1)!-n!};$ $\displaystyle 22.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(x-\frac{x^3}{x^2+1}\right);$    
$\displaystyle 23.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left(\sqrt{x-3}-\sqrt{x}\right);$ $\displaystyle 24.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left(x-\sqrt{2x-3}\right);$    
$\displaystyle 25.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 15 x}{5x};$ $\displaystyle 26.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x+2)}{x+2};$    
$\displaystyle 27.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\tg\frac{x}{2}}{x};$ $\displaystyle 28.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x}{x};$    
$\displaystyle 29.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\tg 3x}{\sin 5x};$ $\displaystyle 30.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}(4x\ctg x);$    
$\displaystyle 31.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x}{1-\cos x};$ $\displaystyle 32.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left((x-3)\sin\frac{2}{3x}\right);$    
$\displaystyle 33.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\frac{\ctg x}{\frac{\pi}{2}-x};$ $\displaystyle 34.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{4x}{\arcsin 12x};$    
$\displaystyle 35.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow -2}\frac{\arctg(x+2)}{4-x^2};$ $\displaystyle 36.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow -2}\frac{\tg\pi x}{x+2};$    
$\displaystyle 37.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\Biggl(\ctg 2x\ctg\biggl(\frac{\pi}{2}-x\biggr)\Biggr);$ $\displaystyle 38.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x;$    
$\displaystyle 39.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{x+1};$ $\displaystyle 40.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{x}{x+1}\right)^x;$    
$\displaystyle 41.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^x;$ $\displaystyle 42.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{x+7}{x+1}\right)^x;$    
$\displaystyle 43.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{n^2-9}{2+n^2}\right)^{n^2-3};$ $\displaystyle 44.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\sqrt[3]{\left(\frac{3x-4} {3x+2}\right)^x\left(\frac{3x-4}{3x+2}\right)};$    
$\displaystyle 45.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\frac{5x^3+2}{5x^3}\right)^{\sqrt{x}};$ $\displaystyle 46.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{x^2+5x-3}{x^2-2}\right)^{\frac{x}{3}};$    
$\displaystyle 47.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{2}{x}};$ $\displaystyle 48.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1-3x)^{\frac{1}{x}};$    
$\displaystyle 49.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{7x+3}{9x+3}\right)^{\frac{1}{x}};$ $\displaystyle 50.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{1-4x}{1+2x}\right)^{\frac{9}{4x}};$    
$\displaystyle 51.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+x+x^2)^{\frac{1}{\sin x}};$ $\displaystyle 52.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{x}};$    
$\displaystyle 53.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}(\cos^2x)^{\frac{1}{2x}};$ $\displaystyle 54.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 1}(7-6x)^{\frac{x}{3x-3}};$    
$\displaystyle 55.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\Bigl(5n\bigl(\ln(n-9)-\ln(n+4)\bigr)\Bigr);$ $\displaystyle 56.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{5\bigl(\ln(3-7x)-\ln 3\bigr)}{3x};$    
$\displaystyle 57.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow e}\frac{\ln x-1}{x-e};$ $\displaystyle 58.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-x}-1}{4x};$    
$\displaystyle 59.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{8^x-6^x}{x}.$   $\displaystyle \;\;$    


Mājas darba uzdevumi


Atrast robežas

$\displaystyle 1.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^4-1}{x^3+5x-2};$ $\displaystyle 2.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\left(2+\frac{1}{\sqrt{1-x}}-\frac{2}{x^3}\right);$    
$\displaystyle 3.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\frac{\pi}{4}}\frac{\sin\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)} {\cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)};$ $\displaystyle 4.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x^3-x^2+2x}{x^2+x};$    
$\displaystyle 5.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow -\frac{1}{2}}\frac{2x^2-7x-4}{-2x^2+5x+3};$ $\displaystyle 6.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 1}\left(\frac{3}{x^3-1}-\frac{1}{x-1}\right);$    
$\displaystyle 7.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow -1}\frac{x+1}{x+\sqrt{x+2}};$ $\displaystyle 8.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow -2}\frac{2-\sqrt{6+x}}{\sqrt{7-x}-3};$    
$\displaystyle 9.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{1-x^2}-1}{x^2-3x};$ $\displaystyle 10.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 64}\frac{\sqrt{x}-8}{4-\sqrt[3]{x}};$    
$\displaystyle 11.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2-5x+1}{3x+7};$ $\displaystyle 12.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{2x^2-x+3}{x^3-8x+5};$    
$\displaystyle 13.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}\right);$ $\displaystyle 14.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{3\sin^2\frac{x}{2}};$    
$\displaystyle 15.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos 3x}{\tg^26x};$ $\displaystyle 16.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sin(1-x)}{x^2-1};$    
$\displaystyle 17.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos^3x}{x-\sin 2x};$ $\displaystyle 18.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 7x-\sin 2x}{\sin x};$    
$\displaystyle 19.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-\sqrt{\cos x}}{1-\cos x};$ $\displaystyle 20.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\tg x}{\arcsin 3x};$    
$\displaystyle 21.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{3n-1}{8+3n}\right)^{\frac{n+3}{4}};$ $\displaystyle 22.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{2x-3}{x-1}\right)^x;$    
$\displaystyle 23.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{x^2+2}{2x^2+1}\right)^{x^2};$ $\displaystyle 24.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{x^2+2x+1}{x^2+3}\right);$    
$\displaystyle 25.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n;$ $\displaystyle 26.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}};$    
$\displaystyle 27.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 1}\left(\frac{x-1}{x^2-1}\right)^{x+1};$ $\displaystyle 28.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{1+4x}{1-11x}\right)^{\frac{4}{3x}};$    
$\displaystyle 29.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+\sin x)^{\frac{1}{x}};$ $\displaystyle 30.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{x^2-2x+3}{x^2-3x+2}\right)^{\frac{\sin x}{x}};$    
$\displaystyle 31.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(7x+2)-\ln 2}{5x};$ $\displaystyle 32.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{e^{2x}-e^{5x}}{x};$    
$\displaystyle 33.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-4^x}{1-e^x};$ $\displaystyle 34.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow e}\frac{\ln x^3-3}{x-e};$    
$\displaystyle 35.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+x)}{5^x-1}.$      


nākamais augstāk iepriekšējais saturs Matemātika DU TSC
Nākamais: 8 Bezgalīgi mazas funkcijas un to Augstāk: vallievads2ht Previous: 6.2. Funkcijas bezgalīga robeža

2003-05-15