Matemātika DU TSC
Nākamais: 8 Bezgalīgi mazas funkcijas un to Augstāk: vallievads2ht

7. Robežu izskaitļošana

Robežu izskaitļošanai izmanto šādas galīgu robežu īpašības.

1. Ja eksistē galīga robeža $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=A$ $(A\in\mathbb{R})$, tad $f$ ir ierobežota funkcija punkta $x=a$ apkārtnē.
2. Ja funkcija $f$ ir konstanta punkta $x=a$ apkārtnē, t.i., visiem $x\in U(a)$ $f(x)=k~-\const$, tad $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=k$.
3. Ja funkcijai $f$ eksistē galīga robeža $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=A$, tad eksistē arī robeža šīs funkcijas modulim $\vert f\vert$, pie tam $\lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl\vert f(x)\bigr\vert=\vert A\vert$.
4. Ja $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=A$ $(a\in\mathbb{R})$, tad $\lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(f(x)-A\bigr)=0$.
5. Ja eksistē galīgas robežas $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=A_1$ un $\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=A_2$, tad eksistē galīga robeža šo funkciju summai, pie tam
   $$\lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=A_1+A_2\/.$$

6. Ja eksistē galīga robeža $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=A$, tad eksistē galīga robeža šīs funkcijas reizinājumam ar konstanti $k$, pie tam $\lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(kf(x)\bigr)=kA$.
7. Ja funkcija $f$ definēta un ierobežota punkta $x=a$ kādā apkārtnē un funkcijai $g$ eksistē robeža $\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=0$, tad eksistē robeža šo funkciju reizinājumam, pie tam
   $$\lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(f(x)\cdot g(x)\bigr)=0\/.$$

8. Ja eksistē galīgas robežas $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=A_1$ un $\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=A_2$, tad eksistē galīga robeža šo funkciju reizinājumam, pie tam
   $$\lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(f(x)\cdot g(x)\bigr)=A_1\cdot A_2\/.$$

9. Ja eksistē galīgas robežas $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=A_1$ un $\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=A_2$, pie tam $A_2\neq 0$, tad eksistē galīga robeža funkcijai $\frac{f}{g}$, pie tam
   $$\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A_1}{A_2}\/.$$

10. Ja eksistē robežas $\lim\limits_{x\rightarrow a}\varphi(x)=b$, $\lim\limits_{u\rightarrow b}f(u)=B$ un salikta funkcija $f\bigl(\varphi(x)\bigr)$ ir definēta punkta $x=a$ pārdurtā apkārtnē, pie tam šajā apkārtnē $\varphi(x)\neq b$, tad punktā $x=a$ eksistē robeža saliktai funkcijai $f\bigl(\varphi(x)\bigr)$, un šī robeža ir $B$, t.i.,
    $$\lim\limits_{x\rightarrow a}f\bigl(\varphi(x)\bigr)=B\/.$$

Tā kā virkne ir funkcijas īpašs gadījums, tad visas šīs īpašības ir spēkā arī virknēm.

Var būt gadījumi, kad robežu izskaitļošana, izmantojot iepriekš uzskaitītās īpašības, nav iespējama.

1. Ja
   $$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow a}\varphi(x)=0\/,$$
   tad robežas
   $$\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{\varphi(x)}$$
   gadījumā 9. īpašību pielietot nedrīkst un runā par `` $\frac{0}{0}$'' veida nenoteiktību.
2. Ja
   $$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow a}\varphi(x)=\infty\/,$$
   tad robežas
   $$\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{\varphi(x)}$$
   gadījumā sastopas ar `` $\frac{\infty}{\infty}$'' veida nenoteiktību.
3. Skaitļojot robežu $\lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(f(x)-\varphi(x)\bigr)$, kur $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)$ un $\lim\limits_{x\rightarrow a}\varphi(x)$ ir bezgalības ar vienādām zīmēm, sastopas ar `` $\infty-\infty$'' veida nenoteiktību.
4. Eksistē nenoteiktības, kas ir sastītas ar $\lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(f(x)\bigr)^{\varphi(x)}$ atrašanu
   $(1^\infty,0^0,\infty^0)$.

Nenoteiktības var novērst,

1. veicot algebriskus vai trigonometriskus pārveidojumus (funkciju sadalot reizinātājos vai saskaitāmajos, vienādojot daļu saucējus, atņemot vai pieskaitot kādu izteiksmi, dalot un reizinot ar kādu funkciju, iznesot kopīgo reizinātāju pirms iekavām, utt.),
2. atsevišķas funkcijas aizstājot ar ekvivalentām bezgalīgi mazām funkcijām,
3. izmantojot tā saucamās ``ievērojamās robežas'':
   1. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$,
   2. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$,

      
      
      $\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$,

   3. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\log_a(1+x)}{x}=\frac{1}{\ln a}$,

      
      
      $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$,

   4. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a\quad(a>0)$,

      
      
      $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}=1$,

   5. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha$.

Nenoteiktību `` $0\cdot\infty$'' viegli var pārveidot par vienu no nenoteiktībām `` $\frac{0}{0}$'' vai `` $\frac{\infty}{\infty}$''. Piemēram, ja $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=0$ un $\lim\limits_{x\rightarrow a}\varphi(x)=\infty$, tad reizinājumu $f\cdot\varphi$ pārveido šādi:

$$f\cdot\varphi=\frac{f}{\frac{1}{\varphi}}\,.$$

Tādā veidā nenoteiktība `` $0\cdot\infty$'' tiek pārveidota par nenoteiktību `` $\frac{0}{0}$''.

Nenoteiktību `` $\infty-\infty$'' var pārveidot par nenoteiktību `` $\frac{0}{0}$'' šādi:

$$f-\varphi=\frac{\frac{1}{\varphi}-\frac{1}{f}}{\frac{1}{f\cdot\varphi}}\,.$$

Lietojot logaritmēšanu, nenoteiktības ``$1^\infty$'', ``$0^0$'', ``$\infty^0$'' var pārveidot par nenoteiktību `` $0\cdot\infty$''. Par šāda veida nenoteiktību tās var arī pārveidot, uzrakstot funkciju $f^\varphi$ šādi:

$$f^\varphi=e^{\varphi\ln f}\/.$$

7.1. piemrs. 

Atrast

$$\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^3-4x^2+x+6}{x^2-4}\/.$$

Tā kā

$$\lim\limits_{x\rightarrow 2}(x^3-4x^2+x+6)=0$$

un

$$\lim\limits_{x\rightarrow 2}(x^2-4)=0\/,$$

tad šajā piemērā sastopas ar nenoteiktību `` $\frac{0}{0}$''. Lai to novērstu, sadala skaitītāju un saucēju reizinātājos, saīsina daļu ar $(x-2)$ (kas šoreiz tiecas uz 0), un nenoteiktība tiek novērsta:

$$\begin{multline*} \lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^3-4x^2+x+6}{x^2-4}= \lim... ...=\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-2x-3}{x+2}=-\frac{3}{4}. \end{multline*}$$

7.2. piemrs. 

Atrast

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+5x}-\sqrt{1+3x}}{x}\/.$$

Šis piemērs satur nenoteiktību `` $\frac{0}{0}$''. Lai to novērstu, ``pārnes'' iracionalitāti no daļas skaitītāja uz saucēju, reizinot skaitītāju un saucēju ar skaitītājam saistīto izteiksmi, t.i., ar $\left(\sqrt{1+5x}+\sqrt{1+3x}\right)$:

$$\begin{multline*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+5x}-\sqrt{1+3x}}{x... ...\left(\sqrt{1+5x}+\sqrt{1+3x}\right)}=\\ =2\cdot\frac{1}{2}=1. \end{multline*}$$

7.3. piemrs. 

Atrast

$$\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt[3]{10-x}-2}{x-2}\/.$$

Šis piemērs satur nenoteiktību `` $\frac{0}{0}$''. Lai to novērstu, skaitītāju papildina līdz divu skaitļu kubu starpībai, reizinot daļas skaitītāju un saucēju ar $\left(\sqrt[3]{(10-x)^2}+2\sqrt[3]{10-x}+4\right)$ (skat.<sup>5</sup>; tādā veidā iracionalitāte no skaitītāja tiek ``pārnesta'' uz saucēju):

$$\begin{multline*} \lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt[3]{10-x}-2}{x-2} =\l... ...sqrt[3]{10-x}\right)^2+ 2\sqrt[3]{10-x}+4\Bigr)}=-\frac{1}{12}. \end{multline*}$$

7.4. piemrs. 

Atrast

$$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{2x^3+3x+5}{3x^3-x^2+3}\/.$$

Šis piemērs satur nenoteiktību `` $\frac{\infty}{\infty}$''. Lai to novērstu, skaitītāja un saucēja polinomus jādala ar $x$ augstāko pakāpi (šoreiz ar $x^3$):

$$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{2x^3+3x+5}{3x^3-x^2+3}= \li... ...\frac{5}{x^3}} {3-\frac{1}{x}+\frac{3}{x^3}}=\frac{2+0+0}{3-0+0}=\frac{2}{3}\/.$$

7.5. piemrs. 

Atrast $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x-\sqrt{x^2-3}\right)$.

Šis piemērs satur nenoteiktību `` $\infty-\infty$''. Lai to novērstu, doto funkciju reizina un dala ar tās saistīto izteiksmi, t.i., ar $\left(x+\sqrt{x^2-3}\right)$:

$$\begin{multline*} \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-3}\right)... ...= \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{3}{x+\sqrt{x^2-3}}=0. \end{multline*}$$

7.6. piemrs. 

Atrast $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^2}$.

Šis piemērs satur nenoteiktību `` $\frac{0}{0}$''. Lai to novērstu, iepriekš izsakot $1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}$, izmanto pirmo ievērojamo robežu, t.i.,

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\,.$$

$$\begin{multline*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim\limits_... ...{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2=\frac{1}{2}\cdot 1^2=\frac{1}{2}. \end{multline*}$$

7.7. piemrs. 

Atrast $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{x^2}\right)^x$.

Šis piemērs satur nenoteiktību ``$1^\infty$''. Lai to novērstu, izmanto otro ievērojamo robežu, t.i.,

$$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e\/.$$

$$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{x^2}\right)^x= \... ...iggr)^{\frac{x}{-x^2}}= e^{-\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}}= e^0=1$$

(skat. ⁶).

7.8. piemrs. 

Atrast $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{2x+3}{2x+1}\right)^{x+1}$.

Šis piemērs satur nenoteiktību ``$1^\infty$''. lai to novērstu, izmanto otro ievērojamo robežu. Uzdevumu var atrisināt ar diviem paņēmieniem.

1. paņēmiens.

$$\begin{multline*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{2x+3}{2x+1}\right... ...igr)^{\frac{1}{2}}} =\frac{e^{\frac{3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}=e. \end{multline*}$$

2. paņēmiens.

$$\begin{multline*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{2x+3}{2x+1}\right... ...\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{2x}}}=e^1=e. \end{multline*}$$

7.9. piemrs. 

Atrast $\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1-3x)^{\frac{1}{x}}$.

Šis piemērs satur nenoteiktību ``$1^\infty$''. Lai to novērstu, izmanto otro ievērojamo robežu, šoreiz

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e\/.$$

$$\begin{multline*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}(1-3x)^{\frac{1}{x}}=\lim\limits... ...x\rightarrow 0}\left((1-3x)^{-\frac{1}{3x}}\right)^{-3}=e^{-3}. \end{multline*}$$

7.10. piemrs. 

Atrast $\lim\limits_{x\rightarrow 1}(1-x)\tg\frac{\pi x}{2}$.

Šis piemērs satur nenoteiktību `` $0\cdot\infty$''.

$$\begin{multline*} \lim\limits_{x\rightarrow 1}(1-x)\tg\frac{\pi x}{2}= \begin{... ...}{2}}{\left(\tg\frac{\pi}{2}t\right)\frac{\pi}{2}}=\frac{2}{\pi} \end{multline*}$$

(skat. ⁷)

7.11. piemrs. 

Atrast $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+2x)}{\sin 3x}$.

Šis piemērs satur nenoteiktību `` $\frac{0}{0}$''. Lai to novērstu, lieto robežu
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$ un pirmo ievērojamo robežu:

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+2x)}{\sin 3x}=\lim\limits... ...\ln(1+2x)}{2x}}{\frac{\sin 3x}{3x}}= \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{1}=\frac{2}{3}\/.$$

Auditorijā risināmie uzdevumi

Atrast robežas

$$1. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow -1}\frac{x^2+5x-3}{\log_2(x^2+1)}; 2. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{x}{\lg\vert x\vert}+2\cos x\right);$$

$$3. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}(\lg x-2^{-x}); 4. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow -\frac{\pi}{4}}\frac{\cos x+\sin x}{\cos 2x};$$

$$5. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2}; 6. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{3-x}{x^3-27};$$

$$7. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2-3x}; 8. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow -1}\frac{3x^2+2x-1}{-x^2+x+2};$$

$$9. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow -2}\left(\frac{1}{2+x}-\frac{12}{8+x^3}\right); 10. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\frac{\pi}{6}}\frac{2\sin^2x+\sin x-1}{2\sin^2x-3\sin x+1};$$

$$11. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{3-\sqrt{x+9}}{x}; 12. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow -5}\frac{x+5}{\sqrt{x+30}+x};$$

$$13. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt{4x+1}-3}{\sqrt{x+2}-2}; 14. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow -2}\frac{\sqrt[3]{x-6}+2}{2+x};$$

$$15. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1}; 16. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1};$$

$$17. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{2x^3+1}{3x^4+2x^2-1}; 18. \;\;\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{0,1n^5-n^3+1}{2n^3+3n^2};$$

$$19. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{(2x-3)(3x+5)(4x-6)}{3x^3+x-1}; 20. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{\sqrt[3]{x^3+10}};$$

$$21. \;\;\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{(n+1)!-n!}; 22. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(x-\frac{x^3}{x^2+1}\right);$$

$$23. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left(\sqrt{x-3}-\sqrt{x}\right); 24. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left(x-\sqrt{2x-3}\right);$$

$$25. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 15 x}{5x}; 26. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x+2)}{x+2};$$

$$27. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\tg\frac{x}{2}}{x}; 28. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x}{x};$$

$$29. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\tg 3x}{\sin 5x}; 30. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}(4x\ctg x);$$

$$31. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x}{1-\cos x}; 32. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left((x-3)\sin\frac{2}{3x}\right);$$

$$33. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\frac{\ctg x}{\frac{\pi}{2}-x}; 34. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{4x}{\arcsin 12x};$$

$$35. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow -2}\frac{\arctg(x+2)}{4-x^2}; 36. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow -2}\frac{\tg\pi x}{x+2};$$

$$37. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\Biggl(\ctg 2x\ctg\biggl(\frac{\pi}{2}-x\biggr)\Biggr); 38. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x;$$

$$39. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{x+1}; 40. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{x}{x+1}\right)^x;$$

$$41. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^x; 42. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{x+7}{x+1}\right)^x;$$

$$43. \;\;\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{n^2-9}{2+n^2}\right)^{n^2-3}; 44. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\sqrt[3]{\left(\frac{3x-4} {3x+2}\right)^x\left(\frac{3x-4}{3x+2}\right)};$$

$$45. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\frac{5x^3+2}{5x^3}\right)^{\sqrt{x}}; 46. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{x^2+5x-3}{x^2-2}\right)^{\frac{x}{3}};$$

$$47. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{2}{x}}; 48. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1-3x)^{\frac{1}{x}};$$

$$49. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{7x+3}{9x+3}\right)^{\frac{1}{x}}; 50. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{1-4x}{1+2x}\right)^{\frac{9}{4x}};$$

$$51. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+x+x^2)^{\frac{1}{\sin x}}; 52. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{x}};$$

$$53. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}(\cos^2x)^{\frac{1}{2x}}; 54. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 1}(7-6x)^{\frac{x}{3x-3}};$$

$$55. \;\;\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\Bigl(5n\bigl(\ln(n-9)-\ln(n+4)\bigr)\Bigr); 56. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{5\bigl(\ln(3-7x)-\ln 3\bigr)}{3x};$$

$$57. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow e}\frac{\ln x-1}{x-e}; 58. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-x}-1}{4x};$$

$$59. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{8^x-6^x}{x}. \;\;$$

Mājas darba uzdevumi

Atrast robežas

$$1. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^4-1}{x^3+5x-2}; 2. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\left(2+\frac{1}{\sqrt{1-x}}-\frac{2}{x^3}\right);$$

$$3. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\frac{\pi}{4}}\frac{\sin\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)} {\cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)}; 4. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x^3-x^2+2x}{x^2+x};$$

$$5. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow -\frac{1}{2}}\frac{2x^2-7x-4}{-2x^2+5x+3}; 6. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 1}\left(\frac{3}{x^3-1}-\frac{1}{x-1}\right);$$

$$7. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow -1}\frac{x+1}{x+\sqrt{x+2}}; 8. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow -2}\frac{2-\sqrt{6+x}}{\sqrt{7-x}-3};$$

$$9. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{1-x^2}-1}{x^2-3x}; 10. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 64}\frac{\sqrt{x}-8}{4-\sqrt[3]{x}};$$

$$11. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2-5x+1}{3x+7}; 12. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{2x^2-x+3}{x^3-8x+5};$$

$$13. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}\right); 14. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{3\sin^2\frac{x}{2}};$$

$$15. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos 3x}{\tg^26x}; 16. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sin(1-x)}{x^2-1};$$

$$17. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos^3x}{x-\sin 2x}; 18. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 7x-\sin 2x}{\sin x};$$

$$19. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-\sqrt{\cos x}}{1-\cos x}; 20. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\tg x}{\arcsin 3x};$$

$$21. \;\;\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{3n-1}{8+3n}\right)^{\frac{n+3}{4}}; 22. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{2x-3}{x-1}\right)^x;$$

$$23. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{x^2+2}{2x^2+1}\right)^{x^2}; 24. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{x^2+2x+1}{x^2+3}\right);$$

$$25. \;\;\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n; 26. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}};$$

$$27. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 1}\left(\frac{x-1}{x^2-1}\right)^{x+1}; 28. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{1+4x}{1-11x}\right)^{\frac{4}{3x}};$$

$$29. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+\sin x)^{\frac{1}{x}}; 30. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{x^2-2x+3}{x^2-3x+2}\right)^{\frac{\sin x}{x}};$$

$$31. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(7x+2)-\ln 2}{5x}; 32. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{e^{2x}-e^{5x}}{x};$$

$$33. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-4^x}{1-e^x}; 34. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow e}\frac{\ln x^3-3}{x-e};$$

$$35. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+x)}{5^x-1}.$$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 8 Bezgalīgi mazas funkcijas un to Augstāk: vallievads2ht