Matemātika DU TSC
Nākamais: 7. Robežu izskaitļošana Augstāk: 6. Funkcijas robeža

6.2. Funkcijas bezgalīga robeža

Apskata gadījumu, kad $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)$ ir bezgalība. Atkarībā no tā, vai $a$ ir skaitlis vai viens no simboliem ``bezgalība'' (plus bezgalība, mīnus bezgalība, bezgalība bez zīmes), ir iespējami 12 gadījumi.

Piemēram, $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=+\infty$, $a\in\mathbb{R}$.

Šoreiz simbolu $+\infty$ sauc par funkcijas $f(x)$ robežu punktā $a$, ja jebkuram skaitlim $M>0$ eksistē tāds $\delta>0$, ka visiem $x$, kuriem $0<\vert x-a\vert<\delta$, izpildās nevienādība $f(x)>M$.

Ģeometriski tas nozīmē: lai cik liels arī nebūtu skaitlis $M>0$, eksistē tāds intervāls $(a-\delta; a+\delta)$, ka visiem $x$ no šī intervāla funkcijas grafiks atrodas virs taisnes $y=M$ (6.3. zīm.).

6.3. zīm.

Piemēram, $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\infty$.

Šoreiz simbolu $\infty$ sauc par funkcijas $f(x)$ robežu punktā $-\infty$, ja jebkuram skaitlim $M>0$ eksistē tāds skaitlis $N>0$, ka visiem $x$, kuriem $x<-N$, izpildās nevienādība $\bigl\vert f(x)\bigr\vert>M$.

Ģeometriski tas nozīmē: lai cik liels arī nebūtu $M>0$, eksistē tāds intervāls $(-\infty;-N)$, ka visiem $x$, kas pieder šim intervālam, funkcijas grafiks atrodas zem taisnes $y=-M$ vai virs taisnes $y=M$.

6.3. piemrs. 

Lietojot funkcijas robežas definīciju, pierādīt, ka

$$\lim\limits_{x\rightarrow -2}\frac{1}{2+x}=\infty\/.$$

Skaitlim $M=5$ atrast atbilstošo $\delta$.

Izvēlas patvaļīgu skaitli $M>0$, apskata nevienādību

$$\left\vert\frac{1}{2+x}\right\vert>M$$

un atrisina to attiecībā pret $\vert x+2\vert$:

$$\vert x+2\vert<\frac{1}{M}\/.$$

Tādējādi $\delta=\frac{1}{M}$.

Kādu arī neizvēlētos $M>0$, eksistē $\delta=\frac{1}{M}>0$, ka visiem $x$, kuriem $0<\vert x+2\vert<\delta$, izpildās nevienādība

$$\bigl\vert f(x)\bigr\vert=\frac{1}{\vert x+2\vert}>\frac{1}{\delta}=M\/.$$

Tādējādi

$$\lim\limits_{x\rightarrow-2}f(x)=\infty\/.$$

Ja $M=5$, tad $\delta=\frac{1}{5}$.

Ģeometriski tas nozīmē, ka visiem $x$, kas pieder intervālam

$$\left(-2-\frac{1}{5};-2+\frac{1}{5}\right)=(-2,2;-1,8)\/,$$

funkcijas grafiks atrodas zem taisnes $y=-5$ vai virs taisnes $y=5$ (6.4. zīm.).

6.4. zīm.

6.4. piemrs. 

Lietojot funkcijas robežas definīciju, pierādīt, ka

$$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(x^2-1)=+\infty\/.$$

Izvēlas patvaļīgu skaitli $M>0$, apskata nevienādību

$$x^2-1>M$$

un atrisina to attiecībā pret $\vert x\vert$:

$$x^2>M+1\/,$$

$$\vert x\vert>\sqrt{M+1}\/,$$

tādējādi

$$N=\sqrt{M+1}\/.$$

Kādu arī neizvēlētos $M>0$, eksistē tāds $N=\sqrt{M+1}>0$, ka visiem $x$, kuriem $\vert x\vert>\sqrt{M+1}$, izpildās nevienādība:

$$f(x)=x^2-1>\left(\sqrt{M+1}\right)^2-1=M\/.$$

Tādējādi

$$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f(x)=+\infty\/.$$

(6.5. zīm.).

6.5. zīm.

Auditorijā risināmie uzdevumi

Lietojot funkcijas robežas definīciju, pierādīt:

$$1. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow -1}\frac{2}{x+1}=\infty; 2. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\frac{1}{2}}\frac{5}{2x-1}=\infty;$$

$$3. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty; 4. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{2}{(x-1)^3}=-\infty;$$

$$5. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x^2-1}=\infty; 6. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)^2}}=+\infty;$$

$$7. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}(x^2+1)=+\infty; 8. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(x^3-1)=\infty;$$

$$9. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}2^{\frac{1}{x^2}}=+\infty.$$

Mājas darba uzdevumi

Lietojot funkcijas robežas definīciju, pierādīt:

$$1. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{3}{2-x}=\infty; 2. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow -\frac{1}{3}}\frac{2}{1+3x}=\infty;$$

$$3. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 4}\frac{1}{(4-x)^2}=+\infty; 4. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{5}{(2-x)^5}=\infty;$$

$$5. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow -2}\frac{2}{x^2-4}=\infty; 6. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow -1}\frac{1}{\sqrt[3]{(1+x)^2}}=+\infty;$$

$$7. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}(1-x^2)=-\infty; 8. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(1-x^4)=-\infty;$$

$$9. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(1-e^{\frac{1}{x^2}}\right)=-\infty.$$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 7. Robežu izskaitļošana Augstāk: 6. Funkcijas robeža