Matemātika DU TSC
Nākamais: 6.2. Funkcijas bezgalīga robeža Augstāk: 6. Funkcijas robeža

6.1. Funkcijas galīga robeža

6.1. definīcija. 

Skaitli $A$ sauc par funkcijas $f$ robežu punktā $a$
$(a\in\mathbb{R})$, ja jebkuram $\varepsilon>0$ eksistē tāds $\delta>0$ (atkarīgs no $\varepsilon$), ka visiem $x$, kuriem $0<\vert x-a\vert<\delta$, izpildās nevienādība

$$\bigl\vert f(x)-A\bigr\vert<\varepsilon\/.$$

No ģeometriskā viedokļa tas nozīmē: lai cik šaura arī nebūtu horizontālā josla starp taisnēm $y=A-\varepsilon$ un $y=A+\varepsilon$, funkcijas grafiks, izņemot varbūt punktu $\bigl(a;f(a)\bigr)$, visiem $x\in(a-\delta; a+\delta)$ atrodas šajā joslā (6.1. zīm.).

Raksta: $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=A$.

6.1. zīm.

6.1. piemrs. 

Lietojot funkcijas robežas definīciju, pierādīt, ka

$$\lim\limits_{x\rightarrow 1}(5x-4)=1\/.$$

Skaitlim $\varepsilon=0,5$ atrast atbilstošo $\delta$. Sniegt ģeometrisko interpretāciju.

Pārveido starpību

$$\vert f(x)-A\vert=\vert 5x-4-1\vert=5\vert x-1\vert\/.$$

Atrisina nevienādību $5\vert x-1\vert<\varepsilon$ attiecībā pret $\vert x-1\vert$:

$$\vert x-1\vert<\frac{\varepsilon}{5}\/.$$

Tādējādi var ņemt $\delta=\frac{\varepsilon}{5}$.

Tātad jebkuram $\varepsilon>0$ eksistē tam atbilstošais $\delta=\frac{\varepsilon}{5}>0$, ka visiem $x$, kuriem $0<\vert x-1\vert<\delta$, t.i., $0<\vert x-1\vert<\frac{\varepsilon}{5}$, izpildās nevienādība

$$\vert f(x)-A\vert=\vert 5x-4-1\vert=5\vert x-1\vert<5\,\frac{\varepsilon}{5}=\varepsilon\/.$$

Saskaņā ar funkcijas robežas definīciju $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=A$

$$\lim\limits_{x\rightarrow 1}(5x-4)=1\/.$$

Ja $\varepsilon=0,5$, tad $\delta=\frac{0,5}{5}=0,1$.

6.2. zīm.

6.2. piemrs. 

Lietojot funkcijas robežas definīciju, pierādīt, ka

$$\lim\limits_{x\rightarrow 3}(x^2-2)=7\/.$$

Skaitlim $\varepsilon=0,001$ atrast atbilstošo $\delta$.

Pārveido starpību

$$\begin{split}\bigl\vert f(x)-A\bigr\vert&=\vert x^2-2-7\vert=... ...ert+6\bigr)=\\ &=\vert x-3\vert^2+6\vert x-3\vert. \end{split}$$

Atrisina nevienādību

$$\vert x-3\vert^2+6\vert x-3\vert<\varepsilon$$

attiecībā pret $\vert x-3\vert$.

Ja $\vert x-3\vert$ apzīmē ar $k$, tad iegūst nevienādību

$$k^2+6k-\varepsilon<0\/.$$

Atbilstošā kvadrātvienādojuma

$$k^2+6k-\varepsilon=0$$

saknes ir $k_1=-3-\sqrt{9+\varepsilon}$ un $k_2=-3+\sqrt{9+\varepsilon}$.

Nevienādības

$$k^2+6x-\varepsilon<0$$

atrisinājums ir

$$-3-\sqrt{9+\varepsilon}<k<-3+\sqrt{9+\varepsilon}\/.$$

Tādējādi

$$-3-\sqrt{9+\varepsilon}<\vert x-3\vert<-3+\sqrt{9+\varepsilon}\/.$$

Tā kā

$$-3-\sqrt{9+\varepsilon}<0\/,$$

tad

$$0<\vert x-3\vert<-3+\sqrt{9+\varepsilon}\/.$$

Tātad var ņemt $\delta=-3+\sqrt{9+\varepsilon}$.

Kādu arī neizvēlētos $\varepsilon>0$, eksistē tam atbilstošais $\delta=-3+\sqrt{9+\varepsilon}$, ka visiem $x$, kuriem

$$0<\vert x-3\vert<-3+\sqrt{9+\varepsilon}\/,$$

izpildās nevienādība

$$\vert f(x)-A\vert=\vert x^2-2-7\vert<\varepsilon\/.$$

Saskaņā ar funkcijas robežas definīciju

$$\lim\limits_{x\rightarrow 3}(x^2-2)=7\/.$$

Auditorijā risināmie uzdevumi

Lietojot funkcijas robežas definīciju, pierādīt dotās vienādības. Skaitlim $\varepsilon=0,1$ atrast atbilstošo $\delta$.

1. $$(a) \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 2}(2x-1)=3; (b) \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 4}\left(5-\frac{x}{4}\right)=4;$$

   $$(c) \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 1}(5-3x^2)=2; (d) \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 4}(x^2-4x+5)=5.$$

   
   

2. Lietojot funkcijas robežas definīciju, pārbaudīt, vai ir pareiza vienādība $\lim\limits_{x\rightarrow 1}(3x+2)=-1$.

Mājas darba uzdevumi

Lietojot funkcijas robežas definīciju, pierādīt dotās vienādības. Skaitlim $\varepsilon=0,5$ atrast atbilstošo $\delta$.

$$1. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow -1}(3x+5)=2; 2. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 3}\left(\frac{x}{3}+4\right)=5;$$

$$3. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 1}(2x^2-3)=-1; 4. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 5}(x^2-5x+6)=6.$$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 6.2. Funkcijas bezgalīga robeža Augstāk: 6. Funkcijas robeža Iepriekšējais: 6. Funkcijas robeža