Matemātika DU TSC
Nākamais: 9. Nepārtrauktas funkcijas Augstāk: vallievads2ht

8. Bezgalīgi mazas funkcijas un to salīdzināšana

8.1. definīcija. 

Funkciju $\alpha$ sauc par bezgalīgi mazu funkciju punktā $a$, ja $\lim\limits_{x\rightarrow a}\alpha(x)=0$.

Pieņemsim, ka $\alpha$ un $\beta$ ir bezgalīgi mazas funkcijas punktā $a$.

Apzīmē

$$c=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}\/.$$

1. Ja $c=0$, tad $\alpha$ sauc par augstākas kārtas bezgalīgi mazu funkciju, salīdzinot ar $\beta$, kad $x\rightarrow a$, un raksta: $\alpha=o(\beta)$ (skat. ⁸).
2. Ja $c\neq 0$, un $c\in\mathbb{R}$, tad $\alpha$, $\beta$ sauc par vienādas kārtas bezgalīgi mazām funkcijām, kad $x\rightarrow a$.
   Pie tam, ja $c=1$, t.i., ja
   $$\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1\/,$$
   tad $\alpha$ un $\beta$ sauc par ekvivalentām bezgalīgi mazām funkcijām, kad $x\rightarrow a$, un raksta: $\alpha\sim\beta\;(x\rightarrow a)$.

8.2. definīcija. 

Funkciju $\alpha$ sauc par $k$-tās kārtas bezgalīgi mazu funkciju, salīdzinot ar bezgalīgi mazu funkciju $\beta$, kad $x\rightarrow a$, ja $\alpha$ un $\beta^k$ ir vienādas kārtas bezgalīgi mazas funkcijas, kad $x\rightarrow a$.

8.1. piemrs. 

Salīdzināt bezgalīgi mazas funkcijas:

1. $\alpha(x)=\sqrt{2+x}-\sqrt{2}$ un $\beta(x)=x$, kad $x\rightarrow 0$;
2. $\alpha(x)=\tg x$ un $\beta(x)=x$, kad $x\rightarrow 0$;
3. $\alpha(x)=\sin^3x$ un $\beta(x)=x$, kad $x\rightarrow 0$.

1. Atrodam doto bezgalīgi mazo funkciju attiecības robežu, kad
   $x\rightarrow 0$:
   $$\begin{multline*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{2}}{x}= \... ...rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{2+x}+\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}. \end{multline*}$$
   
   
   Tātad dotās funkcijas ir vienādas kārtas bezgalīgi mazas funkcijas, kad $x\rightarrow 0$.
2. Atrod
   $$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}= \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\tg x}{x}=1\/.$$
   Dotās funkcijas ir ekvivalentas bezgalīgi mazas funkcijas, kad
   $x\rightarrow 0$, t.i., $\tg x\sim x\;(x\rightarrow 0)$.
3. Atrod
   $$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}= \lim\limi... ...n^3x}{x}= \lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\sin^2x\right)=0\/.$$
   Funkcija $\alpha(x)=\sin^3x$ ir augstākas kārtas bezgalīgi maza funkcija, salīdzinot ar $\beta(x)=x$, kad $x\rightarrow 0$.
   Tā kā
   $$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\alpha(x)}{\beta^3(x)}= \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin^3x}{x^3}=1\/,$$
   tad $\alpha$ ir 3. kārtas bezgalīgi maza funkcija, salīdzinot ar $\beta$, kad $x\rightarrow 0$.

Izskaitļojot robežas, dažkārt ir izdevīgi bezgalīgi mazās funkcijas aizstāt ar tām ekvivalentām funkcijām. Tāda pieeja vienkāršo robežu atrašanu.

8.2. piemrs. 

Atrast robežu $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin^23x}{1-\cos 5x}$.

Piemērā ir dota divu bezgalīgi mazu funkciju $\sin^23x$ un $1-\cos 5x$, kad $x\rightarrow 0$, attiecība. Lai atrastu šo robežu, šīs bezgalīgi mazās funkcijas, kad $x\rightarrow 0$, aizstāj ar tām ekvivalentām bezgalīgi mazām funkcijām:

$$\sin^23x\sim(3x)^2$$   un$$\quad1-\cos 5x\sim2\left(\frac{5x}{2}\right)^2\;\; (x\rightarrow 0)\/,$$

jo

$$1-\cos 5x=2\sin^2\frac{5x}{2}\/.$$

Tādējādi

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin^23x}{1-\cos 5x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{9x^2}{\frac{25x^2}{2}}=\frac{18}{25}\/.$$

Auditorijā risināmie uzdevumi

1. Salīdzināt bezgalīgi mazo funkciju $\delta(x)=x^2$, kad $x\rightarrow 0$, ar šādām bezgalīgi mazām funkcijām:
   1. $\gamma(x)=\tg^33x$;
   2. $\gamma(x)=2-2\cos x$;
   3. $\gamma(x)=\ln^2(1+3x)$.
2. Pierādīt, ka dotās bezgalīgi mazās funkcijas norādītajos punktos ir ekvivalentas:
   1. $\sqrt{1+x}-1\sim\frac{x}{2}$, kad $x\rightarrow 0$;
   2. $\sin x+\tg x\sim 2x$, kad $x\rightarrow 0$;
   3. $\frac{1-x}{1+x}\sim 1-\sqrt{x}$, kad $x\rightarrow 1$.
3. Atrast robežas:
   1. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 15x}{\tg 10x}$;
   2. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin^2x}{1-\cos x}$;
   3. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\arctg^25x}{x\sin 2x}$;
   4. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\arcsin\sqrt[3]{x^4}}{x\sqrt{x}}$.

Mājas darba uzdevumi

Atrast robežas

$$1. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\arcsin\frac{x}{3}}{\tg 2x}; 2. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x^3+2x^2}{\sin^2\frac{x}{4}};$$

$$3. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\tg 5x}{2x-x^2}; 4. \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\ln^2(1+2x)}{\sin^26x}.$$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 9. Nepārtrauktas funkcijas Augstāk: vallievads2ht