nākamais augstāk iepriekšējais saturs Matemātika DU TSC
Nākamais: 9. Nepārtrauktas funkcijas Augstāk: vallievads2ht Previous: 7. Robežu izskaitļošana

8. Bezgalīgi mazas funkcijas un to salīdzināšana


8.1. definīcija. 
Funkciju $ \alpha$ sauc par bezgalīgi mazu funkciju punktā $ a$, ja $ \lim\limits_{x\rightarrow
a}\alpha(x)=0$.

Pieņemsim, ka $ \alpha$ un $ \beta$ ir bezgalīgi mazas funkcijas punktā $ a$.

Apzīmē

$\displaystyle c=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}\/.$

  1. Ja $ c=0$, tad $ \alpha$ sauc par augstākas kārtas bezgalīgi mazu funkciju, salīdzinot ar $ \beta$, kad $ x\rightarrow
a$, un raksta: $ \alpha=o(\beta)$ (skat. 8).
  2. Ja $ c\neq 0$, un $ c\in\mathbb{R}$, tad $ \alpha$, $ \beta$ sauc par vienādas kārtas bezgalīgi mazām funkcijām, kad $ x\rightarrow
a$.

    Pie tam, ja $ c=1$, t.i., ja

    $\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1\/,$

    tad $ \alpha$ un $ \beta$ sauc par ekvivalentām bezgalīgi mazām funkcijām, kad $ x\rightarrow
a$, un raksta: $ \alpha\sim\beta\;(x\rightarrow
a)$.
8.2. definīcija. 
Funkciju $ \alpha$ sauc par $ k$-tās kārtas bezgalīgi mazu funkciju, salīdzinot ar bezgalīgi mazu funkciju $ \beta$, kad $ x\rightarrow
a$, ja $ \alpha$ un $ \beta^k$ ir vienādas kārtas bezgalīgi mazas funkcijas, kad $ x\rightarrow
a$.
8.1. piem{\={e\/}}rs. 
Salīdzināt bezgalīgi mazas funkcijas:
  1. $ \alpha(x)=\sqrt{2+x}-\sqrt{2}$ un $ \beta(x)=x$, kad $ x\rightarrow 0$;
  2. $ \alpha(x)=\tg x$ un $ \beta(x)=x$, kad $ x\rightarrow 0$;
  3. $ \alpha(x)=\sin^3x$ un $ \beta(x)=x$, kad $ x\rightarrow 0$.
  1. Atrodam doto bezgalīgi mazo funkciju attiecības robežu, kad
    $ x\rightarrow 0$:

    \begin{multline*}
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{2}}{x}=
\...
...rightarrow
0}\frac{1}{\sqrt{2+x}+\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}.
\end{multline*}

    Tātad dotās funkcijas ir vienādas kārtas bezgalīgi mazas funkcijas, kad $ x\rightarrow 0$.
  2. Atrod

    $\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\tg x}{x}=1\/.$

    Dotās funkcijas ir ekvivalentas bezgalīgi mazas funkcijas, kad
    $ x\rightarrow 0$, t.i., $ \tg x\sim x\;(x\rightarrow
0)$.
  3. Atrod

    $\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=
\lim\limi...
...n^3x}{x}=
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\sin^2x\right)=0\/.$

    Funkcija $ \alpha(x)=\sin^3x$ ir augstākas kārtas bezgalīgi maza funkcija, salīdzinot ar $ \beta(x)=x$, kad $ x\rightarrow 0$.

    Tā kā

    $\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\alpha(x)}{\beta^3(x)}=
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin^3x}{x^3}=1\/,$

    tad $ \alpha$ ir 3. kārtas bezgalīgi maza funkcija, salīdzinot ar $ \beta$, kad $ x\rightarrow 0$.

Izskaitļojot robežas, dažkārt ir izdevīgi bezgalīgi mazās funkcijas aizstāt ar tām ekvivalentām funkcijām. Tāda pieeja vienkāršo robežu atrašanu.

8.2. piem{\={e\/}}rs. 
Atrast robežu $ \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin^23x}{1-\cos
5x}$.

Piemērā ir dota divu bezgalīgi mazu funkciju $ \sin^23x$ un $ 1-\cos 5x$, kad $ x\rightarrow 0$, attiecība. Lai atrastu šo robežu, šīs bezgalīgi mazās funkcijas, kad $ x\rightarrow 0$, aizstāj ar tām ekvivalentām bezgalīgi mazām funkcijām:

$\displaystyle \sin^23x\sim(3x)^2$   un$\displaystyle \quad1-\cos
5x\sim2\left(\frac{5x}{2}\right)^2\;\;
(x\rightarrow 0)\/,$

jo

$\displaystyle 1-\cos 5x=2\sin^2\frac{5x}{2}\/.$

Tādējādi

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin^23x}{1-\cos 5x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}
\frac{9x^2}{\frac{25x^2}{2}}=\frac{18}{25}\/.$


Auditorijā risināmie uzdevumi


  1. Salīdzināt bezgalīgi mazo funkciju $ \delta(x)=x^2$, kad $ x\rightarrow 0$, ar šādām bezgalīgi mazām funkcijām:
    1. $ \gamma(x)=\tg^33x$;
    2. $ \gamma(x)=2-2\cos x$;
    3. $ \gamma(x)=\ln^2(1+3x)$.
  2. Pierādīt, ka dotās bezgalīgi mazās funkcijas norādītajos punktos ir ekvivalentas:
    1. $ \sqrt{1+x}-1\sim\frac{x}{2}$, kad $ x\rightarrow 0$;
    2. $ \sin x+\tg x\sim 2x$, kad $ x\rightarrow 0$;
    3. $ \frac{1-x}{1+x}\sim 1-\sqrt{x}$, kad $ x\rightarrow
1$.
  3. Atrast robežas:
    1. $ \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 15x}{\tg
10x}$;
    2. $ \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin^2x}{1-\cos
x}$;
    3. $ \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\arctg^25x}{x\sin
2x}$;
    4. $ \lim\limits_{x\rightarrow
0}\frac{\arcsin\sqrt[3]{x^4}}{x\sqrt{x}}$.


Mājas darba uzdevumi


Atrast robežas

$\displaystyle 1.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\arcsin\frac{x}{3}}{\tg 2x};$ $\displaystyle 2.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x^3+2x^2}{\sin^2\frac{x}{4}};$    
$\displaystyle 3.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\tg 5x}{2x-x^2};$ $\displaystyle 4.$ $\displaystyle \;\;\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\ln^2(1+2x)}{\sin^26x}.$    


nākamais augstāk iepriekšējais saturs Matemātika DU TSC
Nākamais: 9. Nepārtrauktas funkcijas Augstāk: vallievads2ht Previous: 7. Robežu izskaitļošana

2003-05-15