Matemātika DU TSC
Nākamais: 10. Vienpusējās robežas, to izskaitļošana. Funkcijas Augstāk: vallievads2ht

9. Nepārtrauktas funkcijas

9.1. definīcija. 

Funkciju $f$ sauc par nepārtrauktu punktā $x_0\in D(f)$, ja $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta f(x_0)=0$, kur

$$\Delta f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$$

ir funkcijas $f$ pieaugums punktā $x_0$.

9.2. definīcija. 

Funkciju $f$ sauc par nepārtrauktu kopā $E\subset D(f)$, ja tā ir nepārtraukta šīs kopas katrā punktā.

9.3. definīcija. 

Funkciju, kas ir nepārtraukta savā definīcijas apgabalā, sauc par nepārtrauktu funkciju.

9.1. piemrs. 

Pierādīt, ka funkcija $f(x)=2-x+x^2$ ir nepārtraukta punktā $x_0=1$.

$$\begin{multline*} \Delta f(1)=f(1+\Delta x)-f(1)=2-(1+\Delta x)+(1+\Delta x)^2-(2-1+1)=\\ =\Delta x+\Delta x^2=\Delta x(1+\Delta x). \end{multline*}$$

Atrod

$$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta f(1)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \Delta x(1+\Delta x)=0\/,$$

saskaņā ar definīciju funkcija $f(x)=2-x+x^2$ ir nepārtraukta punktā $x_0=1$.

Ja ir jāpierāda funkcijas nepārtrauktība kādā kopā (vai definīcijas apgabalā), tad izvēlas patvaļīgu šīs kopas punktu $x_0$ un pierāda funkcijas nepārtrauktību šajā punktā.

9.2. piemrs. 

Pierādīt, ka $f(x)=\frac{1}{x+1}$ ir nepārtraukta funkcija.

$D(f)=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$. Izvēlas patvaļīgu $x_0\in D(f)$, atrod $\Delta f(x_0)$:

$$\begin{multline*} \Delta f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=\frac{1}{x_0+\Delta x+1}-\frac{1}{x_0+1}=\\ =\frac{-\Delta x}{(x_0+1)(x_0+\Delta x+1)}. \end{multline*}$$

Tad

$$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta f(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{-\Delta x}{(x_0+\Delta x+1)(x_0+1)}=0\/.$$

Tā kā $x_0$ ir patvaļīgs funkcijas definīcijas apgabala punkts, tad funkcija $f$ ir nepārtraukta funkcija.

9.3. piemrs. 

Pierādīt, ka $f(x)=\sin x$ ir nepārtraukta funkcija.

Pieņem, ka $x_0\in D(f)=\mathbb{R}$.

$$\Delta f(x_0)=\sin(x_0+\Delta x)-\sin x_0=2\sin\frac{\Delta x}{2} \cos\left(x_0+\frac{\Delta x}{2}\right)\/.$$

Atrod

$$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta f(x_0)=2\lim\limits_{\D... ...Delta x}{2}}\cdot\frac{\Delta x}{2}\cos\left(x_0+\frac{\Delta x}{2}\right)=0\/,$$

jo

$$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\sin\frac{\Delta x}{2}} {\frac{\Delta x}{2}}\cdot\frac{\Delta x}{2}=1\cdot 0=0\;\;$$un$$\;\;\cos\left(x_0+\frac{\Delta x}{2}\right)$$

ir ierobežota funkcija.

Tātad $f(x)=\sin x$ ir nepārtraukta funkcija.

Auditorijā risināmie uzdevumi

Pierādīt, ka dotās funkcijas ir nepārtrauktas.

$$1. \;\;f(x)=2-x^2; 2. \;\;f(x)=\frac{1}{x^2+1};$$

$$3. \;\;f(x)=e^x; 4. \;\;f(x)=x-1.$$

Mājas darba uzdevumi

Pierādīt, ka dotās funkcijas ir nepārtrauktas.

$$1. \;\;f(x)=1-x^3; 2. \;\;f(x)=\frac{1}{x+3};$$

$$3. \;\;f(x)=\sqrt[3]{2+x}; 4. \;\;f(x)=\ln x.$$

Matemātika DU TSC Matemātika DU TSC
Nākamais: 10. Vienpusējās robežas, to izskaitļošana. Funkcijas Augstāk: vallievads2ht