Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.2.4. Speciālgadījumi Augstāk: 3.2. Lineārās programēšanas uzdevumu risināšanas grafiskā Iepriekšējais: 3.2.2 Minimuma gadījums

3.2.3. Maksimuma gadījums

Atrisināsim grafiski šādu problēmu par maksimuma atrašanu.

Problēma par optimālu ražošanas plānu. Uzņēmums ražo divu veidu izstrādājumus A un B. Lai saražotu vienu izstrādājuma A vienību ir nepieciešams $1$ kg metāla un $5$ kg plastmasas, bet, lai saražotu vienu izstrādājuma B vienību, ir vajadzīgi $9$ kg metāla un $1$ kg plastmasas. Noliktavā atrodas $540$ kg metāla un $500$ kg plastmasas. Vienas izstrādājuma A vienības cena ir $ $60$, bet vienas B izstrādājuma vienības cena ir $ $180$.

Cik daudz jāsaražo A un B izstrādājumu vienību, lai peļņa būtu maksimālā?

Risinājums. Formalizēsim problēmu.

Apzīmēsim:

$x_{1}$ - produkcijas A vienību daudzums (gabalos);
$x_{2}$ - produkcijas B daudzums (gabalos).

3.4. zīm. 

Formulēsim nosacījumus, ka materiālu noliktavā ir pietiekamā daudzumā:

$$\begin{array}{ccccc} x_{1}&+&9x_{2}&\leq\ 5x_{1}&+&x_{2}&\leq&500. \end{array}$$

Mērķa funkcija - saražotās produkcijas cena:

$$L=60x_{1}+180x_{2}.$$

Doto problēmu matemātiski var formulēt šādi:

$$\begin{array}{l} L=60x_{1}+180x_{2}\longrightarrow max,\ x_... ...{1}+x_{2}\leq 500,\ x_{1}\geq 0,\;\;x_{2}\geq 0. \end{array}$$

Lai konstruētu pieļaujamo apgabalu, pārrakstīsim ierobežojumus formā:

$$\begin{array}{l} x_{2}\leq-\frac{1}{9}x_{1}+ 60,\medskip\ x_{2}\leq-5x_{1}+ 500,\ x_{1}\geq 0,\;\;x_{2}\geq 0 . \end{array}$$

Pieļaujamais apgabals (skat. 3.4. zīm.) ir četrstūris $ABCO$, kuru veido koordinātu asis un taisnes:

taisne $AB$ ar vienādojumu $x_{2}=-\frac{1}{9}x_{1}+60$;

taisne $BC$ ar vienādojumu $x_{2}=-5x_{1}+500$.

Mērķa funkcijas līmeņlīniju vienādojums:

$$60x_{1}+180x_{2}=c_{1}$$

vai

$$x_{2}=-\frac{1}{3}x_{1}+ c.$$

3.4. zīmējumā līmeņlīnija $FE:\;x_{2}=-\frac{1}{3}x_{1}+50$ ir attēlota ar raustītu līniju. Parametram $c$ pieaugot, līmeņlīnijas virzās paralēli uz augšu. Skaidrs, ka punkts $B$ ir pēdējais punkts, kurš ir kopīgs līmeņlīnijai un pieļaujamajam apgabalam. Par to var arī pārliecināties, salīdzinot koeficientus pie $x_{1}$ taišņu $AB$, $BC$ un $FE$ vienādojumos:

$$-5<-\frac{1}{3}<-\frac{1}{9}.$$

Lai atrastu punkta $B$ koordinātas, risinām vienādojumu sistēmu

$$\left\{\begin{array}{ccl} x_{2} &= &-\frac{1}{9}x_{1}+60,\medskip\ x_{2} &= &-5x_{1}+500. \end{array}\right.$$

Atrisinājums: $x_{1}=90$, $x_{2}=50$.

Iegūtā peļņa (mērķa funkcijas vērtība):

$$L=60\cdot 90+180\cdot 50=14 400.$$

Salīdzinājumam,

$$L=180\cdot 60=10 800,$$

ja ražotu tikai dārgāko produkciju B. Tad metāls tiktu izmantots pilnībā, bet daļa plastmasas paliktu neizmantota. Šim variantam 3.4. zīmējumā atbilst punkts $A$. Ja ražotu tikai produkciju A, tad peļnas apjoms

$$L =60\cdot 100=6 000.$$

Šim gadījumam 3.4. zīmējumā atbilst punkts $C$.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.2.4. Speciālgadījumi Augstāk: 3.2. Lineārās programēšanas uzdevumu risināšanas grafiskā Iepriekšējais: 3.2.2 Minimuma gadījums