nākamais augstāk iepriekšējais saturs Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.5. Racionālu funkciju integrēšana Augstāk: 1.4. Integrēšanas pamatmetodes Iepriekšējais: 1.4.1. Parciālā integrēšana

1.4.2. Integrēšana ar mainīgā aizvietošanu

1.1. teorēma. 
Ja $ x=\varphi(t)$ ir stingri monotona un diferencējama intervālā $ L$, pie tam $ \varphi'(t)\neq 0$ šajā intervālā; attēlo intervālu $ L$ par kaut kādu intervālu $ L_1$, kurā ir definēta funkcija $ f(x)$ un $ \phi(t)$ ir funkcijas $ f(\varphi(t))\varphi'(t)$ primitīvā funkcija intervālā $ L$, tad $ F(x)=
\phi\left(\varphi^{-1}(x)\right)$ ir funkcijas $ f(x)$ primitīvā funkcija intervālā $ L_1$.

$ \blacktriangleright$ Tā kā $ \varphi$ ir stingri monotona funkcija intervālā $ L$, tad tai eksistē apvērstā funkcija $ \varphi^{-1}(x)$, kas ir definēta intervālā $ L_1$. Saskaņā ar teorēmu par apvērstās funkcijas diferencēšanu funkcija $ \varphi^{-1}(x)$ ir diferencējama, pie tam

$\displaystyle \left(\varphi^{-1}(x)\right)'=\frac{1}{\varphi'(t)}\/.$

Atrod funkcijas $ F(x)=
\phi\left(\varphi^{-1}(x)\right)$ atvasinājumu, diferencējot to kā saliktu funkciju.

$\displaystyle F'(x)=\phi'(t)\frac{1}{\varphi'(t)}=f(\varphi(t))\varphi'(t)\frac{1}{\varphi'(t)}=
f(\varphi(t))=f(x)\/.$

Seko, ka $ F(x)$ ir funkcijas $ f(x)$ primitīvā funkcija. $ \blacktriangleleft$

1.5. piezīme. 
  $ \phantom{}$ 
  1. No teorēmas seko, ka

    $\displaystyle \boxed{\int f(x)dx=\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)dt.}$

    Šī vienādība izsaka mainīgā aizvietošanas nenoteiktajā integrālī būtību. Formulu lieto gan no kreisās puses uz labo pusi, t.i., mainīgo $ x$ aizstājot ar kāda cita mainīgā $ t$ funkciju $ \varphi(t)$, gan otrādi, t.i., kādu funkciju apzīmējot ar jaunu mainīgo.
  2. Nedrīkst aizmirst pēc integrēšanas atgriezties pie iepriekšējā integrēšanas mainīgā.
1.7. piemērs. 
Atrast

$\displaystyle \int \frac{dx}{x^2+a^2}\/.$

\begin{multline*}
\int
\frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a^2}\int\frac{dx}{1+\left(\fr...
...t}{1+t^2}=\frac{1}{a}\arctg
t+C=\frac{1}{a}\arctg\frac{x}{a}+C.
\end{multline*}

1.8. piemērs. 
Atrast

$\displaystyle \int\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\;.$

\begin{multline*}
\int\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\frac{1}{a}\int\frac{dx}{\sqrt{1-...
...}}=\int\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\arcsin
t+C=\arcsin\frac{x}{a}+C.
\end{multline*}

1.9. piemērs. 
Atrast

$\displaystyle \int\tg x dx\/.$

\begin{multline*}
\int\tg x dx=\int\frac{\sin x dx}{\cos x}=\left\vert\begin{arr...
...rray}\right\vert=\\
=-\ln\vert t\vert+C=-\ln\vert\cos x\vert+C.
\end{multline*}

1.10. piemērs. 
Atrast

$\displaystyle \int\ctg xdx\/.$

\begin{multline*}
\int\ctg xdx=\int\frac{\cos x dx}{\sin x}=\left\vert\begin{arr...
...rt=\\
\int\frac{dt}{t}=\ln\vert t\vert+C=\ln\vert\sin x\vert+C.
\end{multline*}

1.11. piemērs. 
Atrast

$\displaystyle \int\sqrt{a^2-x^2}dx\/.$

\begin{multline*}
\int\sqrt{a^2-x^2}dx=\left\vert\begin{array}{c}
\text{Apzīmē ...
...
=\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C.
\end{multline*}

1.12. piemērs. 
Atrast

$\displaystyle \int\frac{dx}{(x^2+a^2)^2}\/.$

\begin{multline*}
\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^2}=\left\vert\begin{array}{c}
\text{A...
...rac{1}{2a^3}\left(\arctg\frac{x}{a}+\frac{ax}{a^2+x^2}\right)+C,
\end{multline*}

jo

$\displaystyle \sin 2t=\frac{2\tg t}{1+\tg^2t}=\frac{2\cdot\frac{x}{a}}{1+\left(\frac{x}{a}\right)^2}=
\frac{2xa}{a^2+x^2}\/.$

1.6. piezīme. 
1.7.-1.12. piemēros iegūtos integrāļus turpmāk izmanto kā tabulāros. Šos integrāļus pievieno pamatintegrāļu tabulai.

$\displaystyle 14.$ $\displaystyle \int\frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctg\frac{x}{a}+C,$    
$\displaystyle 15.$ $\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+C,$    
$\displaystyle 16.$ $\displaystyle \int\tg xdx=-\ln\vert\cos x\vert+C,$    
$\displaystyle 17.$ $\displaystyle \int\ctg xdx=\ln\vert\sin x\vert+C,$    
$\displaystyle 18.$ $\displaystyle \int\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C,$    
$\displaystyle 19.$ $\displaystyle \int\frac{dx}{(x^2+a^2)^2}=\frac{1}{2a^3}\left(\arctg\frac{x}{a}+ \frac{ax}{a^2+x^2}\right)+C\/.$    


nākamais augstāk iepriekšējais saturs Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.5. Racionālu funkciju integrēšana Augstāk: 1.4. Integrēšanas pamatmetodes Iepriekšējais: 1.4.1. Parciālā integrēšana

2002-11-06