Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.5. Racionālu funkciju integrēšana Augstāk: 1.4. Integrēšanas pamatmetodes Iepriekšējais: 1.4.1. Parciālā integrēšana

1.4.2. Integrēšana ar mainīgā aizvietošanu

1.1. teorēma. 

Ja $x=\varphi(t)$ ir stingri monotona un diferencējama intervālā $L$, pie tam $\varphi'(t)\neq 0$ šajā intervālā; attēlo intervālu $L$ par kaut kādu intervālu $L_1$, kurā ir definēta funkcija $f(x)$ un $\phi(t)$ ir funkcijas $f(\varphi(t))\varphi'(t)$ primitīvā funkcija intervālā $L$, tad $F(x)= \phi\left(\varphi^{-1}(x)\right)$ ir funkcijas $f(x)$ primitīvā funkcija intervālā $L_1$.

$\blacktriangleright$ Tā kā $\varphi$ ir stingri monotona funkcija intervālā $L$, tad tai eksistē apvērstā funkcija $\varphi^{-1}(x)$, kas ir definēta intervālā $L_1$. Saskaņā ar teorēmu par apvērstās funkcijas diferencēšanu funkcija $\varphi^{-1}(x)$ ir diferencējama, pie tam

$$\left(\varphi^{-1}(x)\right)'=\frac{1}{\varphi'(t)}\/.$$

Atrod funkcijas $F(x)= \phi\left(\varphi^{-1}(x)\right)$ atvasinājumu, diferencējot to kā saliktu funkciju.

$$F'(x)=\phi'(t)\frac{1}{\varphi'(t)}=f(\varphi(t))\varphi'(t)\frac{1}{\varphi'(t)}= f(\varphi(t))=f(x)\/.$$

Seko, ka $F(x)$ ir funkcijas $f(x)$ primitīvā funkcija. $\blacktriangleleft$

1.5. piezīme. 

  $\phantom{}$ 

1. No teorēmas seko, ka
   $$\boxed{\int f(x)dx=\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)dt.}$$
   Šī vienādība izsaka mainīgā aizvietošanas nenoteiktajā integrālī būtību. Formulu lieto gan no kreisās puses uz labo pusi, t.i., mainīgo $x$ aizstājot ar kāda cita mainīgā $t$ funkciju $\varphi(t)$, gan otrādi, t.i., kādu funkciju apzīmējot ar jaunu mainīgo.
2. Nedrīkst aizmirst pēc integrēšanas atgriezties pie iepriekšējā integrēšanas mainīgā.

1.7. piemērs. 

Atrast

$$\int \frac{dx}{x^2+a^2}\/.$$

$$\begin{multline*} \int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a^2}\int\frac{dx}{1+\left(\fr... ...t}{1+t^2}=\frac{1}{a}\arctg t+C=\frac{1}{a}\arctg\frac{x}{a}+C. \end{multline*}$$

1.8. piemērs. 

Atrast

$$\int\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\;.$$

$$\begin{multline*} \int\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\frac{1}{a}\int\frac{dx}{\sqrt{1-... ...}}=\int\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\arcsin t+C=\arcsin\frac{x}{a}+C. \end{multline*}$$

1.9. piemērs. 

Atrast

$$\int\tg x dx\/.$$

$$\begin{multline*} \int\tg x dx=\int\frac{\sin x dx}{\cos x}=\left\vert\begin{arr... ...rray}\right\vert=\\ =-\ln\vert t\vert+C=-\ln\vert\cos x\vert+C. \end{multline*}$$

1.10. piemērs. 

Atrast

$$\int\ctg xdx\/.$$

$$\begin{multline*} \int\ctg xdx=\int\frac{\cos x dx}{\sin x}=\left\vert\begin{arr... ...rt=\\ \int\frac{dt}{t}=\ln\vert t\vert+C=\ln\vert\sin x\vert+C. \end{multline*}$$

1.11. piemērs. 

Atrast

$$\int\sqrt{a^2-x^2}dx\/.$$

$$\begin{multline*} \int\sqrt{a^2-x^2}dx=\left\vert\begin{array}{c} \text{Apzīmē ... ... =\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C. \end{multline*}$$

1.12. piemērs. 

Atrast

$$\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^2}\/.$$

$$\begin{multline*} \int\frac{dx}{(x^2+a^2)^2}=\left\vert\begin{array}{c} \text{A... ...rac{1}{2a^3}\left(\arctg\frac{x}{a}+\frac{ax}{a^2+x^2}\right)+C, \end{multline*}$$

jo

$$\sin 2t=\frac{2\tg t}{1+\tg^2t}=\frac{2\cdot\frac{x}{a}}{1+\left(\frac{x}{a}\right)^2}= \frac{2xa}{a^2+x^2}\/.$$

1.6. piezīme. 

1.7.-1.12. piemēros iegūtos integrāļus turpmāk izmanto kā tabulāros. Šos integrāļus pievieno pamatintegrāļu tabulai.

$$14. \int\frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctg\frac{x}{a}+C,$$

$$15. \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+C,$$

$$16. \int\tg xdx=-\ln\vert\cos x\vert+C,$$

$$17. \int\ctg xdx=\ln\vert\sin x\vert+C,$$

$$18. \int\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C,$$

$$19. \int\frac{dx}{(x^2+a^2)^2}=\frac{1}{2a^3}\left(\arctg\frac{x}{a}+ \frac{ax}{a^2+x^2}\right)+C\/.$$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.5. Racionālu funkciju integrēšana Augstāk: 1.4. Integrēšanas pamatmetodes Iepriekšējais: 1.4.1. Parciālā integrēšana