Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.6. Iracionālu funkciju integrēšana Augstāk: 1. NENOTEIKTAIS INTEGRĀLIS Iepriekšējais: 1.4.2. Integrēšana ar mainīgā aizvietošanu

1.5. Racionālu funkciju integrēšana

Apskata šāda veida integrāļus: $\int R(x)dx$, kur $R$ ir racionāla funkcija. Katru racionālu funkciju var izteikt kā divu polinomu attiecību, t.i.,

$$R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\/.$$

Ja daļa $\frac{P(x)}{Q(x)}$ nav īsta, t.i., skaitītāja pakāpe nav zemāka (vienāda vai lielāka) par saucēja pakāpi, tad šādu daļu var izteikt kā kaut kāda polinoma un īstas daļas summu.

Apskata īstu daļu $\frac{P(x)}{Q(x)}$. Pieņem, ka $Q$ ir $n$-tās pakāpes polinoms. No algebras kursa zināms, ka katru $n$-tās pakāpes polinomu $Q$ ar reāliem koeficientiem var izteikt šādi:

$$Q(x)=a_0(x-\alpha_1)^{m_1}\cdots (x-\alpha_r)^{m_r}(x^2+p_1x+q_1)^{n_1}\cdots (x^2+p_sx+q_s)^{n_s}\/,$$

kur

$\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ ir šī polinoma reālās saknes,

$p_1,\ldots,p_s$, $q_1,\ldots, q_s$ - reāli skaitļi,

$m_1,\ldots, m_r$, $n_1,\ldots, n_s$ - naturāli skaitļi (atbilstošo sakņu kārtas),
pie tam $m_1+\cdots+m_r+2n_1+\cdots+2n_s=n$ un kvadrāttrinomiem
$x^2+p_1x+q_1,\ldots, \;x^2+p_sx+q_s$ nav reālu sakņu.

Īstu daļu var izteikt šādi:

$$\frac{P(x)}{Q(x)} =\frac{A_{11}}{x-\alpha_1}+\frac{A_{12}}{(x-\alpha_1)^{2}}+\cdots+ \frac{A_{1m_1}}{(x-\alpha_1)^{m_1}}+\cdots+$$

$$+\frac{A_{r1}}{x-\alpha_r}+\frac{A_{r2}}{(x-\alpha_r)^{2}}+\cdots +\frac{A_{rm_r}}{(x-\alpha_r)^{m_r}}+$$

$$+ \frac{M_{11}x+N_{11}}{x^2+p_1x+q_1}+\frac{M_{12}x+N_{12}}{(x^2+p_1x+q_1)^2} +\cdots +\frac{M_{1n_1}x+N_{1n_1}}{(x^2+p_1x+q_1)^{n_1}}+\cdots+$$

$$+\frac{M_{s1}x+N_{s1}}{x^2+p_sx+q_s}+\frac{M_{s2}x+N_{s2}}{(x^2+p_sx+q_s)^2}+\cdots+ \frac{M_{sn_s}x+N_{sn_s}}{(x^2+p_sx+q_s)^{n_s}},$$

kur

$A_{11},\ldots,A_{1m_1},\ldots,A_{r1},\ldots,A_{rm_r}$,

$M_{11},\ldots,M_{1n_1},\ldots,M_{sn_s}$,

$N_{11},\ldots,N_{1n_1},\ldots,N_{s1},\ldots,N_{sn_s}$
ir reāli skaitļi, kurus atrod ar nenoteikto koeficientu metodi. Parasti koeficientus apzīmē ar burtiem $A, B, C$ utt.

Piemēram,

$$\begin{multline*} \frac{x^2+x+1}{x^3-x^2+x-1}=\frac{x^2+x+1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac... ...c{Bx+C}{x^2+1}=\\ =\frac{A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+1)}\/. \end{multline*}$$

Seko, ka

$$x^2+x+1=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)\/.$$

Pielīdzina polinomu koeficientus pie $x$ vienādām pakāpēm un iegūst šādu vienādojumu sistēmu:

$$\left\{\begin{array}{l} A+B=1, \\ -B+C=1, \\ A-C=1. \end{array}\right.$$

Šīs sistēmas atrisinājums ir

$$\left\{\begin{array}{l} A=\frac{3}{2}, \\ B=-\frac{1}{2}, \\ C=\frac{1}{2}. \end{array}\right.$$

Tādējādi

$$\frac{x^2+x+1}{x^3-x^2+x-1}=\frac{\frac{3}{2}}{x-1}+\frac{-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}{x^2+1}\/.$$

Vienādojumu sistēmu var arī iegūt, ja vienādībā

$$x^2+x+1=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)$$

$x$ vietā liek $3$ patvaļīgas vērtības, piemēram, $x=1$, $x=0$, $x=-1$.

Apskata vēl vienu daļu.

$$\frac{2x+7}{x^3+2x^2-3x}=\frac{2x+7}{x(x-1)(x+3)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+3}\/.$$

Seko, ka

$$2x+7=A(x-1)(x+3)+Bx(x+3)+Cx(x-1)\/.$$

Argumenta vietā ievieto vērtības $x=0$, $x=1$, $x=-3$ un iegūst, ka $A=-\frac{7}{3}$, $B=\frac{9}{4}$, $C=\frac{1}{12}$.

Tādējādi

$$\frac{2x+7}{x^3+2x^2-3x}=\frac{-\frac{7}{3}}{x}+\frac{\frac{9}{4}}{x-1}+\frac{\frac{1}{12}}{x+3}\/.$$

Izteiksmes

$$\frac{A}{x-\alpha},\; \frac{A}{(x-\alpha)^n},\; \frac{Mx+N}{x^2+px+q}, \;\frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^n}\/,$$

kur kvadrāttrinomam $x^2+px+q$ nav reālu sakņu, sauc par elemetārdaļām.

Jebkurā intervālā, kas nesatur $\alpha$,

$$\int\frac{A}{x-\alpha}\,dx=A\ln\vert x-\alpha\vert+C\/,$$

$$\begin{multline*} \int\frac{A}{(x-\alpha)^n}\,dx=A\int(x-\alpha)^{-n}dx=A\frac{(x-\alpha)^{-n+1}}{-n+1}+C=\\ =\frac{A}{(1-n)(x-\alpha)^{n-1}}+C. \end{multline*}$$

$$\begin{multline*} \int\frac{Mx+N}{x^2+px+q}\,dx=\frac{M}{2}\int\frac{(2x+p)dx}{x... ...)+\frac{2N-Mp}{\sqrt{4q-p^2}}\arctg\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}+C. \end{multline*}$$

1.7. piezīme. 

Risinot uzdevumus, šo formulu nelieto, bet izmanto paņēmienu, ar kuru tā tiek iegūta.

1.13. piemērs. 

Atrast

$$\int\frac{x-2}{x^2+x+1}dx\/.$$

$$\begin{multline*} \int\frac{x-2}{x^2+x+1}dx=\frac{1}{2}\int\frac{(2x+1)-5}{x^2+... ...2}\ln(x^2+x+1)-\frac{5}{\sqrt{3}}\arctg\frac{2x+1}{\sqrt{3}}+C. \end{multline*}$$

Integrāļa $\int\frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^n}dx$ atrašana ir diezgan sarežģīta. Virpirms apskata integrāli $\int\frac{dz}{(z^2+a^2)^n}$ ( $a\in\mathbb{R}$, $n\in\mathbb{N}$, $n>1$).

$$\begin{multline*} \int\frac{dz}{(z^2+a^2)^n}=\frac{1}{a^2}\int\frac{(z^2+a^2)-z^... ...+a^2)^{n-1}}-\\ -\frac{1}{2a^2}\int z\frac{2z dz}{(z^2+a^2)^n}. \end{multline*}$$

Integrāļa $\int\limits z\frac{2z dz}{(z^2+a^2)^n}$ atrašanai pielieto parciālās integrēšanas formulu.

$$\begin{multline*} \int z\frac{2z dz}{(z^2+a^2)^n}=\left\vert\begin{array}{c} u=... ...-n)(z^2+a^2)^{n-1}}-\frac{1}{1-n}\int\frac{dz}{(z^2+a^2)^{n-1}}. \end{multline*}$$

Tātad

$$\begin{multline*} \int\frac{dz}{(z^2+a^2)^n}=\frac{1}{a^2}\int\frac{dz}{(z^2+a^a... ...)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2(n-1)a^2}\int\frac{dz}{(z^2+a^2)^{n-1}}\/. \end{multline*}$$

Tika iegūta formula, kuru sauc par rekurences formulu. Šī formula integrāļa $\int\frac{dz}{(z^2+a^2)^n}$ izskaitļošanu reducē uz integrāļa $\int\frac{dz}{(z^2+a^2)^{n-1}}$ izskaitļošanu.

Piemēram, pie $n=2$ iegūst formulu:

$$\begin{multline*} \int\frac{dz}{(z^2+a^2)^2}=\frac{z}{2a^2(z^2+a^2)}+\frac{1}{2a... ...=\\ =\frac{z}{2a^2(z^2+a^2)}+\frac{1}{2a^3}\arctg\frac{z}{a}+C. \end{multline*}$$

1.8. piezīme. 

Integrāļa $\int\frac{dz}{(z^2+a^2)^{n-1}}$ izskaitļošanai savukārt var atkal pielietot rekurences formulu utt., kamēr nonāk pie tabulārā integrāļa.

Visbeidzot

$$\begin{multline*} \int\frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^n}dx=\frac{M}{2}\int\frac{2x+p}{(x^... ...1-n)(x^2+px+q)^{n-1}}+\frac{2N-Mp}{2}\int\frac{dz}{(z^2+a^2)^n}, \end{multline*}$$

kur $z=x+\frac{p}{2}$ un $a=\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}$.

Integrāli $\int\frac{dz}{(z^2+a^2)^n}$ var atrast, izmantojot rekurences formulu.

1.14. piemērs. 

Atrast

$$\int\frac{x+4}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}dx\/.$$

$$\begin{multline*} \frac{x+4}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}dx=\frac{x+4}{(x-1)^2(x^2+1)}=\\ =\frac{A}{(x-1)^2} +\frac{B}{x-1}+\frac{Cx+D}{x^2+1}. \end{multline*}$$

$$x+4=A(x^2+1)+B(x-1)(x^2+1)+(Cx+D)(x-1)^2\/.$$

Ievieto $x=1$, iegūst $A=\frac{5}{2}$. Pārējos koeficientus atrod, pielīdzinot koeficientus pie vienādām $x$ pakāpēm. Iegūst, ka $B=-2$, $C=2$, $D=-\frac{1}{2}$.

$$\frac{x+4}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}=\frac{\frac{5}{2}}{(x-1)^2}+ \frac{-2}{x-1}+\frac{2x-\frac{1}{2}}{x^2+1}$$

un

$$\begin{multline*} \int\frac{x+4}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}dx=\frac{5}{2}\int\frac{dx}{... ...(x-1)}-2\ln\vert x-1\vert+\\ +\ln(x^2+1)-\frac{1}{2}\arctg x+C. \end{multline*}$$

1.15. piemērs. 

Atrast

$$\int\frac{dx}{x^2-a^2}\/.$$

$$\frac{1}{x^2-a^2}=\frac{1}{(x-a)(x+a)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x+a}\/.$$

$$1=A(x+a)+B(x-a)\/.$$

Argumenta vietā ievieto $x=a$ un $x=-a$. Iegūst, ka $A=\frac{1}{2a}$ un $B=-\frac{1}{2a}$.

Tādējādi

$$\frac{1}{x^2-a^2}=\frac{\frac{1}{2a}}{x-a}+\frac{-\frac{1}{2a}}{x+a}$$

un

$$\int\frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln\vert x-a\vert-\frac{1}{2a}\ln\vert x+a\vert+C= \frac{1}{2a}\ln\left\vert\frac{x-a}{x+a}\right\vert+C\/.$$

Arī šo integrāli pievieno pamatintegrāļu tabulai.

$$20.\int\frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln\left\vert\frac{x-a}{x+a}\right\vert+C\/.$$

1.16. piemērs. 

Atrast

$$\int\frac{2x^3-13x^2+29x-20}{x^2-6x+11}dx\/.$$

Daļa nav īsta, tāpēc vispirms skaitītāja polinomu dalot ar saucēja polinomu, atdala veselo daļu.

$2x^3$

Tādējādi

$$\frac{2x^3-13x^2+29x-20}{x^2-6x+11}=2x-1+\frac{x-9}{x^2-6x+11}$$

un

$$\begin{multline*} \int\frac{2x^3-13x^2+29x-20}{x^2-6x+11}dx=\int(2x-1)dx+\int\fr... ...}\ln(x^2-6x+11)-\frac{6}{\sqrt{2}}\arctg\frac{x-3}{\sqrt{2}}+C. \end{multline*}$$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.6. Iracionālu funkciju integrēšana Augstāk: 1. NENOTEIKTAIS INTEGRĀLIS Iepriekšējais: 1.4.2. Integrēšana ar mainīgā aizvietošanu