nākamais augstāk iepriekšējais saturs Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.7. Trigonometrisko funkciju integrēšana Augstāk: 1. NENOTEIKTAIS INTEGRĀLIS Iepriekšējais: 1.5. Racionālu funkciju integrēšana

1.6. Iracionālu funkciju integrēšana


Apskata tādas iracionālas funkcijas, kuras ar mainīgā aizvietošanu var reducēt uz racionālām funkcijām.


$ R$ ir racionāla argumentu $ x$ un $ \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$ funkcija, $ \left\vert\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}\right\vert\neq 0$, $ n$ ir naturāls skaitlis.

\begin{multline*}
\int R\left(x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)dx=\left\vert...
...a},\;t\right)\frac{n(ad-bc)t^{n-1}}{(ct^n-a)^2}dt=\int
R_1(t)dt,
\end{multline*}

kur $ R_1$ ir argumenta $ t$ racionāla funkcija.
1.17. piemērs. 
Atrast

$\displaystyle \int\frac{dx}{(2+x)\sqrt{1+x}}\/.$

\begin{multline*}
\int\frac{dx}{(2+x)\sqrt{1+x}}=\left\vert\begin{array}{c}
\te...
...1)t}=\\
=2\int\frac{dt}{1+t^2}=2\arctg t+C=2\arctg\sqrt{1+x}+C.
\end{multline*}

1.18. piemērs. 
Atrast

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt[3]{(2x+1)^2}-\sqrt{2x+1}}\/.$

Zemintegrāļa funkcija ir racionāla attiecībā pret argumentu $ \sqrt[6]{2x+1}$, tāpēc to apzīmē ar jaunu mainīgo $ t$.

\begin{multline*}
\int\frac{dx}{\sqrt[3]{(2x+1)^2}-\sqrt{2x+1}}=
\int\frac{dx}{\...
...6]{2x+1}+1\right)^2+3\ln\left\vert\sqrt[6]{2x+1}-1\right\vert+C.
\end{multline*}


Arī šoreiz $ R$ ir racionāla savu argumentu funkcija. Šo integrāli, izdarot mainīgā aizvietošanu, var reducēt uz integrāli no racionālas funkcijas. Tam nolūkam lieto vienu no tā saucamajām Eilera substitūcijām. Substitūcijas izvēle atkarīga no skaitļiem $ a, b, c$.


Eilera pirmā substitūcija.


Ja $ a>0$, tad apzīmē $ \sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x$.

\begin{multline*}
\int R\left(x,\;\sqrt{ax^2+bx+c}\right)dx=\left\vert\begin{arr...
...{2(\sqrt{a}t^2+bt+c\sqrt{a})}{(2\sqrt{a}t+b)^2}dt=\int R_1(t)dt,
\end{multline*}

kur $ R_1$ ir argumenta $ t$ racionāla funkcija.


Eilera otrā substitūcija.


Ja $ c>0$, tad apzīmē $ \sqrt{ax^2+bx+c}=xt-\sqrt{c}$.

Arī šoreiz integrālis tiek reducēts uz integrāli no racionālas funkcijas (Izdarīt to patstāvīgi).


Eilera trešā substitūcija.


Ja kvadrāttrinomam $ ax^2+bx+c$ ir reālas un dažādas saknes $ \alpha$ un $ \beta$, tad apzīmē $ \sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-\alpha)$. Iegūst, ka $ a(x-\beta)=t^2(x-\alpha)$. Tātad $ x=\frac{a\beta-\alpha
t^2}{a-t^2}$, utt.

1.9. piezīme. 
Integrāļu $ \int R\left(x, \sqrt{ax^2+bx+c}\right)dx$ izskaitļošanai teorētiski pietiek ar Eilera pirmo un Eilera trešo substitūciju (Pamatot to).
1.19. piemērs. 
Atrast

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}\/.$

\begin{multline*}
\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}=\left\vert\begin{array}{c}
\text...
...=\ln\vert t\vert+C=
\ln\left\vert x+\sqrt{x^2+a}\right\vert+C.
\end{multline*}

Šo integrāli pievieno pamatintegrāļu tabulai.

$\displaystyle 21.\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}=\ln\left\vert x+\sqrt{x^2+a}\right\vert+C\/.$

1.20. piemērs. 
Atrast

$\displaystyle \int\frac{x dx}{(\sqrt{6x-8-x^2})^3}\/.$

Šoreiz lieto Eilera trešo substitūciju. Kvadrāttrinoma $ 6x-8-x^2$ saknes ir $ 2$ un $ 4$.

\begin{multline*}
\int\frac{x dx}{(\sqrt{6x-8-x^2})^3}=\left\vert\begin{array}{c...
...ac{t^2+2}{t^2}dt=-\int dt-2\int\frac{dt}{t^2}
=-t+\frac{2}{t}+C,
\end{multline*}

kur

$\displaystyle t=\frac{\sqrt{6x-8-x^2}}{x-2}=\frac{\sqrt{-(x-2)(x-4)}}{x-2}=\sqrt{\frac{4-x}{x-2}}\/.$

Izteiksmi $ x^m(a+bx^n)^pdx$, kur $ a$ un $ b$ ir reāli skaitļi, bet $ m, n, p $ ir racionāli skaitļi, sauc par binomiālo diferenciāli.

Krievu matemātiķis Čebiševs pierādīja, ka integrāli $ \int x^m(a+bx^n)^pdx$ var izteikt ar elementārām funkcijām tikai trijos gadījumos.
1. gadījums.
Ja $ p$ ir vesels skaitlis, tad apzīmē $ x=t^s$, kur $ s$ ir daļu $ m$ un $ n$ kopsaucējs.

\begin{multline*}
\int x^m(a+bx^n)^pdx=\left\vert\begin{array}{c}
x=t^s, \\
d...
...right\vert=\int t^{ms}(a+bt^{ns})^pst^{s-1}dt=\\
=\int R(t)dt,
\end{multline*}

kur $ R$ ir racionāla funkcija ($ ms$ un $ ns$ ir veseli skaitļi).
2. gadījums.
Ja $ \frac{m+1}{n}$ ir vesels skaitlis, tad apzīmē $ a+bx^n=t^s$, kur $ s$ ir daļas $ p$ saucējs.

\begin{multline*}
\int x^m(a+bx^n)^pdx=\left\vert\begin{array}{c}
a+bx^n=t^s,\;...
...^{\frac{m+1}{n}-1}\cdot
t^{sp}\frac{s}{bn}t^{s-1}dt=\int R(t)dt,
\end{multline*}

kur $ R$ ir racionāla funkcija ( $ \frac{m+1}{n}-1$ un $ sp$ ir veseli skaitļi).
3. gadījums.
Ja $ \frac{m+1}{n}+p$ ir vesels skaitlis, tad apzīmē $ ax^{-n}+b=t^s$, kur $ s$ ir daļas $ p$ saucējs (pamatot patstāvīgi).
1.10. piezīme. 
Katrā no šiem gadījumiem pēc atbilstošās racionālās funkcijas integrēšanas jāatgriežas pie iepriekšējā mainīgā $ x$.
1.21. piemērs. 
Atrast

$\displaystyle \int x^3\left(1+x^2\right)^\frac{2}{3}dx\/.$

\begin{multline*}
\int x^3\left(1+x^2\right)^\frac{2}{3}dx=\left\vert\begin{arra...
...ac{3}{16}\sqrt[3]{(1+x^2)^8}-\frac{3}{10}\sqrt[3]{(1+x^2)^5}+C.
\end{multline*}

1.22. piemērs. 
Atrast

$\displaystyle \int\frac{\sqrt[3]{(2x^3+1)^2}}{x^6}dx\/.$

\begin{multline*}
\int\frac{\sqrt[3]{(2x^3+1)^2}}{x^6}dx=\int
x^{-6}(1+2x^3)^\fr...
...{-3}+2)^5}+C=\\ =-\frac{1}{5}\frac{\sqrt[3]{(1+2x^3)^5}}{x^5}+C.
\end{multline*}


nākamais augstāk iepriekšējais saturs Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.7. Trigonometrisko funkciju integrēšana Augstāk: 1. NENOTEIKTAIS INTEGRĀLIS Iepriekšējais: 1.5. Racionālu funkciju integrēšana

2002-11-06