Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.7. Trigonometrisko funkciju integrēšana Augstāk: 1. NENOTEIKTAIS INTEGRĀLIS Iepriekšējais: 1.5. Racionālu funkciju integrēšana

1.6. Iracionālu funkciju integrēšana

Apskata tādas iracionālas funkcijas, kuras ar mainīgā aizvietošanu var reducēt uz racionālām funkcijām.

• Integrālis $\int R\left(x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)dx$.

$R$ ir racionāla argumentu $x$ un $\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$ funkcija, $\left\vert\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right\vert\neq 0$, $n$ ir naturāls skaitlis.

$$\begin{multline*} \int R\left(x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)dx=\left\vert... ...a},\;t\right)\frac{n(ad-bc)t^{n-1}}{(ct^n-a)^2}dt=\int R_1(t)dt, \end{multline*}$$

kur $R_1$ ir argumenta $t$ racionāla funkcija.

1.17. piemērs. 

Atrast

$$\int\frac{dx}{(2+x)\sqrt{1+x}}\/.$$

$$\begin{multline*} \int\frac{dx}{(2+x)\sqrt{1+x}}=\left\vert\begin{array}{c} \te... ...1)t}=\\ =2\int\frac{dt}{1+t^2}=2\arctg t+C=2\arctg\sqrt{1+x}+C. \end{multline*}$$

1.18. piemērs. 

Atrast

$$\int\frac{dx}{\sqrt[3]{(2x+1)^2}-\sqrt{2x+1}}\/.$$

Zemintegrāļa funkcija ir racionāla attiecībā pret argumentu $\sqrt[6]{2x+1}$, tāpēc to apzīmē ar jaunu mainīgo $t$.

$$\begin{multline*} \int\frac{dx}{\sqrt[3]{(2x+1)^2}-\sqrt{2x+1}}= \int\frac{dx}{\... ...6]{2x+1}+1\right)^2+3\ln\left\vert\sqrt[6]{2x+1}-1\right\vert+C. \end{multline*}$$

• Integrālis $\int R\left(x,\;\sqrt{ax^2+bx+c}\right)dx$.

Arī šoreiz $R$ ir racionāla savu argumentu funkcija. Šo integrāli, izdarot mainīgā aizvietošanu, var reducēt uz integrāli no racionālas funkcijas. Tam nolūkam lieto vienu no tā saucamajām Eilera substitūcijām. Substitūcijas izvēle atkarīga no skaitļiem $a, b, c$.

Eilera pirmā substitūcija.

Ja $a>0$, tad apzīmē $\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x$.

$$\begin{multline*} \int R\left(x,\;\sqrt{ax^2+bx+c}\right)dx=\left\vert\begin{arr... ...{2(\sqrt{a}t^2+bt+c\sqrt{a})}{(2\sqrt{a}t+b)^2}dt=\int R_1(t)dt, \end{multline*}$$

kur $R_1$ ir argumenta $t$ racionāla funkcija.

Eilera otrā substitūcija.

Ja $c>0$, tad apzīmē $\sqrt{ax^2+bx+c}=xt-\sqrt{c}$.

Arī šoreiz integrālis tiek reducēts uz integrāli no racionālas funkcijas (Izdarīt to patstāvīgi).

Eilera trešā substitūcija.

Ja kvadrāttrinomam $ax^2+bx+c$ ir reālas un dažādas saknes $\alpha$ un $\beta$, tad apzīmē $\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-\alpha)$. Iegūst, ka $a(x-\beta)=t^2(x-\alpha)$. Tātad $x=\frac{a\beta-\alpha t^2}{a-t^2}$, utt.

1.9. piezīme. 

Integrāļu $\int R\left(x, \sqrt{ax^2+bx+c}\right)dx$ izskaitļošanai teorētiski pietiek ar Eilera pirmo un Eilera trešo substitūciju (Pamatot to).

1.19. piemērs. 

Atrast

$$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}\/.$$

$$\begin{multline*} \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}=\left\vert\begin{array}{c} \text... ...=\ln\vert t\vert+C= \ln\left\vert x+\sqrt{x^2+a}\right\vert+C. \end{multline*}$$

Šo integrāli pievieno pamatintegrāļu tabulai.

$$21.\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}=\ln\left\vert x+\sqrt{x^2+a}\right\vert+C\/.$$

1.20. piemērs. 

Atrast

$$\int\frac{x dx}{(\sqrt{6x-8-x^2})^3}\/.$$

Šoreiz lieto Eilera trešo substitūciju. Kvadrāttrinoma $6x-8-x^2$ saknes ir $2$ un $4$.

$$\begin{multline*} \int\frac{x dx}{(\sqrt{6x-8-x^2})^3}=\left\vert\begin{array}{c... ...ac{t^2+2}{t^2}dt=-\int dt-2\int\frac{dt}{t^2} =-t+\frac{2}{t}+C, \end{multline*}$$

kur

$$t=\frac{\sqrt{6x-8-x^2}}{x-2}=\frac{\sqrt{-(x-2)(x-4)}}{x-2}=\sqrt{\frac{4-x}{x-2}}\/.$$

• Integrālis $\int x^m(a+bx^n)^pdx$.

Izteiksmi $x^m(a+bx^n)^pdx$, kur $a$ un $b$ ir reāli skaitļi, bet $m, n, p$ ir racionāli skaitļi, sauc par binomiālo diferenciāli.

Krievu matemātiķis Čebiševs pierādīja, ka integrāli $\int x^m(a+bx^n)^pdx$ var izteikt ar elementārām funkcijām tikai trijos gadījumos.

1. gadījums.

Ja $p$ ir vesels skaitlis, tad apzīmē $x=t^s$, kur $s$ ir daļu $m$ un $n$ kopsaucējs.

$$\begin{multline*} \int x^m(a+bx^n)^pdx=\left\vert\begin{array}{c} x=t^s, \\ d... ...right\vert=\int t^{ms}(a+bt^{ns})^pst^{s-1}dt=\\ =\int R(t)dt, \end{multline*}$$

kur $R$ ir racionāla funkcija ($ms$ un $ns$ ir veseli skaitļi).

2. gadījums.

Ja $\frac{m+1}{n}$ ir vesels skaitlis, tad apzīmē $a+bx^n=t^s$, kur $s$ ir daļas $p$ saucējs.

$$\begin{multline*} \int x^m(a+bx^n)^pdx=\left\vert\begin{array}{c} a+bx^n=t^s,\;... ...^{\frac{m+1}{n}-1}\cdot t^{sp}\frac{s}{bn}t^{s-1}dt=\int R(t)dt, \end{multline*}$$

kur $R$ ir racionāla funkcija ( $\frac{m+1}{n}-1$ un $sp$ ir veseli skaitļi).

3. gadījums.

Ja $\frac{m+1}{n}+p$ ir vesels skaitlis, tad apzīmē $ax^{-n}+b=t^s$, kur $s$ ir daļas $p$ saucējs (pamatot patstāvīgi).

1.10. piezīme. 

Katrā no šiem gadījumiem pēc atbilstošās racionālās funkcijas integrēšanas jāatgriežas pie iepriekšējā mainīgā $x$.

1.21. piemērs. 

Atrast

$$\int x^3\left(1+x^2\right)^\frac{2}{3}dx\/.$$

$$\begin{multline*} \int x^3\left(1+x^2\right)^\frac{2}{3}dx=\left\vert\begin{arra... ...ac{3}{16}\sqrt[3]{(1+x^2)^8}-\frac{3}{10}\sqrt[3]{(1+x^2)^5}+C. \end{multline*}$$

1.22. piemērs. 

Atrast

$$\int\frac{\sqrt[3]{(2x^3+1)^2}}{x^6}dx\/.$$

$$\begin{multline*} \int\frac{\sqrt[3]{(2x^3+1)^2}}{x^6}dx=\int x^{-6}(1+2x^3)^\fr... ...{-3}+2)^5}+C=\\ =-\frac{1}{5}\frac{\sqrt[3]{(1+2x^3)^5}}{x^5}+C. \end{multline*}$$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.7. Trigonometrisko funkciju integrēšana Augstāk: 1. NENOTEIKTAIS INTEGRĀLIS Iepriekšējais: 1.5. Racionālu funkciju integrēšana