Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.8. Jautājumi Augstāk: 1. NENOTEIKTAIS INTEGRĀLIS Iepriekšējais: 1.6. Iracionālu funkciju integrēšana

1.7. Trigonometrisko funkciju integrēšana

Apskata integrāļus $\int R(\sin x, \cos x)dx$, kur $R$ ir racionāla savu argumentu funkcija.

• Universālā trigonometriskā substitūcija

Integrāļus $\int R(\sin x, \cos x)dx$ ar substitūciju

$$\tg\frac{x}{2}=t\;\;(-\pi<x<\pi)$$

var reducēt uz integrāļiem no mainīgā $t$ racionālām funkcijām.

$$\begin{multline*} \int R(\sin x, \cos x)dx=\left\vert\begin{array}{c} \tg\frac{... ...2},\;\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\frac{2dt}{1+t^2}=\int R_1(t)dt, \end{multline*}$$

kur $R_1$ ir racionāla funkcija.

1.23. piemērs. 

Atrast

$$\int\frac{dx}{\sin x}$$

$$\begin{multline*} \int\frac{dx}{\sin x}=\left\vert\begin{array}{c} \tg\frac{x}{... ...=\\ =\ln\vert t\vert+C=\ln\left\vert\tg\frac{x}{2}\right\vert+C. \end{multline*}$$

1.24. piemērs. 

Atrast

$$\int\frac{dx}{\cos x}$$

$$\begin{multline*} \int\frac{dx}{\cos x}=\left\vert\begin{array}{c} \tg\frac{x}{... ...left\vert\frac{1+\tg\frac{x}{2}}{1-\tg\frac{x}{2}}\right\vert+C. \end{multline*}$$

Šos divus integrāļus pievieno pamatintegrāļu tabulai.

$$22. \int\frac{dx}{\sin x}=\ln\left\vert\tg\frac{x}{2}\right\vert+C,$$

$$23. \int\frac{dx}{\cos x}=\ln\left\vert\frac{1+\tg\frac{x}{2}}{1-\tg\frac{x}{2}}\right\vert+C\/.$$

1.11. piezīme. 

Universālā trigonometriskā substitūcija bieži integrāļus $\int R(\sin x, \cos x)dx$ reducē uz samērā sarežģītu racionālu funkciju integrēšanu. Tāpēc apskata citus paņēmienus šādu integrāļu izskaitļošanai.

• Apskata gadījumus, kad $R(\sin x, \cos x)$ ir nepāra funkcija attiecībā pret $\sin x$ vai $\cos x$, t.i.,
  $$R(-\sin x, \cos x)=-R(\sin x, \cos x)$$
  vai
  $$R(\sin x, -\cos x)=-R(\sin x, \cos x)\/,$$
  vai kad šī funkcija ir pāra funkcija attiecībā pret $\sin x$ un $\cos x$, t.i.,
  $$R(-\sin x, -\cos x)=R(\sin x, \cos x)\/.$$

Šādos gadījumos lieto substitūciju atbilstoši

$$\cos x=t,\quad\sin x=t,$$   vai$$\quad\tg x=t\quad(-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2})\/.$$

Piemēram, ja $R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$, tad

$$\begin{multline*} \int R(\sin x,\cos x)dx=\int R_1(\sin^2x,\cos x)\sin xdx=\\ =\... .... \end{array}\right\vert=\\ =\int R_1(1-t^2, t)dt=\int R_2(t)dt, \end{multline*}$$

kur $R_1, R_2$ ir racionālas savu argumentu funkcijas. (Pārējos gadījumus apskatīt patstāvīgi).

1.12. piezīme. 

Funkciju $R(\sin x, \cos x)$ var izteikt kā šādu triju veidu funkciju summu, t.i.,

$$\begin{multline*} R(\sin x, \cos x)=\frac{R(\sin x, \cos x)-R(\sin x, -\cos x)}{... ...\cos x)}{2}+\\ +\frac{R(-\sin x, -\cos x)+R(\sin x, \cos x)}{2}. \end{multline*}$$

1.25. piemērs. 

Atrast

$$\int\cos^2x\sin^3xdx\/.$$

Šoreiz

$$R(\sin x, \cos x)=\cos^2x\sin^3x$$

un

$$R(-\sin x, \cos x)=-R(\sin x\cos x)\/.$$

$$\begin{multline*} \int\cos^2x\sin^3xdx=\left\vert\begin{array}{c} \cos x=t,\;-\... ...c{t^5}{5}-\frac{t^3}{3}+C=\frac{\cos^5x}{5}-\frac{\cos^3x}{3}+C. \end{multline*}$$

1.26. piemērs. 

Atrast

$$\int\frac{\sin^2x}{\cos^4x}dx\/.$$

Šoreiz

$$R(\sin x, \cos x)=\frac{\sin^2x}{\cos^4x}$$

un

$$R(-\sin x, -\cos x)=R(\sin x, \cos x)\/.$$

$$\begin{multline*} \int\frac{\sin^2x}{\cos^4x}dx=\left\vert\begin{array}{c} \tg ... ...c{dx}{\cos^2x}=\\ =\int t^2dt=\frac{t^3}{3}+C=\frac{tg^3x}{3}+C. \end{multline*}$$

1.13. piezīme. 

Integrējot trigonometriskās funkcijas, izmanto dažādas trigonometriskās formulas. Piemēram, reizinājumu pārveido trigonometrisko funkciju summā, pazemina pakāpi, utt.

1.27. piemērs. 

Atrast

$$\int\sin 3x\cos 5xdx\/.$$

$$\begin{multline*} \int\sin 3x\cos 5xdx=\left\vert\begin{array}{c} \sin 3x\cos 5... ...os 2x}{2}\right)+C=\\ =\frac{1}{4}\cos2x-\frac{1}{16}\cos 8x+C. \end{multline*}$$

1.28. piemērs. 

Atrast

$$\int\sin^2x\cos^2xdx\/.$$

Tā kā $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$, tad $\sin^2x\cos^2x=\frac{1}{4}\sin^22x$.

$$\begin{multline*} \int\sin^2x\cos^2xdx=\frac{1}{4}\int\sin^22xdx=\left\vert\sin^... ...-\frac{\sin 4x }{4}\right)+C=\frac{1}{8}x-\frac{1}{32}\sin 4x+C. \end{multline*}$$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.8. Jautājumi Augstāk: 1. NENOTEIKTAIS INTEGRĀLIS Iepriekšējais: 1.6. Iracionālu funkciju integrēšana