1.4.1. Parciālā integrēšana

Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.4.2. Integrēšana ar mainīgā aizvietošanu Augstāk: 1.4. Integrēšanas pamatmetodes Iepriekšējais: 1.4. Integrēšanas pamatmetodes

1.4.1. Parciālā integrēšana

Apskata divas intervālā

diferencējamas funkcijas

. Atrod šo funkciju reizinājuma diferenciāli:

$\displaystyle d(uv)=udv+vdu\/.$

No šīs vienādības iegūst, ka

$\displaystyle udv=d(uv)-vdu\/.$

Integrē šo vienādību un izmanto nenoteiktā integrāļa īpašības:

$\displaystyle \int udv=\int d(uv)-\int vdu\/,$

$\displaystyle \boxed{\int udv=uv-\int vdu.}$

Iegūto formulu sauc par parciālās integrēšanas formulu nenoteiktajā integrālī. (Integrēšanas konstanti neraksta, jo var uzskatīt, ka tā ietilpst otrajā saskaitāmajā).

Funkcija

un diferenciālis

jāizvēlas tā, lai iegūtais integrālis būtu tabulārs vai vismaz vienkāršāks par doto. (Ja apzīmējumi nav izvēlēti pareizi, tad iegūst sarežģītāku integrāli, nekā dotais.)

Atrodod integrāļus, apzīmējumus un palīgaprēķinus parasti ieslēdz vertikālās svītrās.

1.4. piemērs.

Atrast

$\displaystyle \int xe^xdx\/.$

$\displaystyle \int xe^xdx=\left\vert \begin{array}{c} u=x,\; du=dx \\ dv=e^xdx,\; v=e^x\ \end{array}\right\vert=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x+C.$

1.2. piezīme.: Parciālās integrēšanas formulu dažreiz nākas pielietot atkārtoti.

1.5. piemērs.

Atrast

$\displaystyle \int (x^2+x-1)\cos x\,dx\/.$

$\begin{multline*} \int (x^2+x-1)\cos x\,dx=\left\vert\begin{array}{c} u=x^2+x-1... ...n x+(2x+1)\cos x-2\sin x+C=\\ =(x^2+x-3)\sin x+(2x+1)\cos x+C. \end{multline*}$

1.3. piezīme.: Atkārtoti pielietojot parciālās integrēšanas formulu, dažreiz nonāk pie izteiksmes, kas satur doto integrāli. No iegūtās vienādības izsaka doto integrāli.

1.6. piemērs.

Atrast

$\displaystyle \int e^x\sin x dx\/.$

$\begin{multline*} \int e^x\sin x dx=\left\vert\begin{array}{c} u=e^x,\;du=e^x d... ...^x\sin x dx\right)=\\ =-e^x\cos x+e^x\sin x-\int e^x\sin x dx. \end{multline*}$

Seko, ka

$\displaystyle \int e^x\sin xdx=\frac{1}{2}\left(-e^x\cos x+e^x\sin x\right)+C =\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+C.$

Lai pārbaudītu iegūto rezultātu, atvasina šīs vienādības labo pusi.

$\begin{multline*} \left(\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+C\right)'=\\ =\frac{1}{2}... ...igr)=\\ =\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x+\cos x+\sin x)=e^x\sin x. \end{multline*}$

Integrālis atrasts pareizi.

1.4. piezīme.

Parciālās integrēšanas formulu lieto, lai atrastu šādus integrāļus:

	$\displaystyle \int P(x)e^{kx}dx,$	$\displaystyle \int P(x)\arcsin x dx,$
	$\displaystyle \int P(x)\sin kx dx,$	$\displaystyle \int P(x)\arccos x dx,$
	$\displaystyle \int P(x)\cos kx dx,$	$\displaystyle \int P(x)\arctg x dx,$
	$\displaystyle \int P(x)\ln x dx,$	$\displaystyle \int P(x)\arcctg x dx,$