Matemātika DU TSC
Nākamais: 6.4. Jautājumi Augstāk: 6. NEĪSTIE INTEGRĀĻI Iepriekšējais: 6.2. Pirmā veida neīstie integrāļi

6.3. Otrā veida neīstie integrāļi

Apskata integrāļus no intervālā $[a;b]$ neierobežotām funkcijām. Tādus integrāļus $\int\limits_a^bf(x)dx$ sauc par otrā veida neīstajiem integrāļiem.

Apskata intervālā $[a;b)$ nepārtrauktu funkciju, kas ir neierobežota punkta $b$ apkārtnē (6.2. zīm.).

Jebkuram $\varepsilon >0$ ir definēts noteiktais integrālis $\int\limits_a^{b-\varepsilon}f(x)dx$. Otrā veida neīsto integrāli definē kā robežu no šī noteiktā integrāļa, kad $\varepsilon\rightarrow 0$, t.i.,

$$\boxed{\int\limits_a^bf(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0} \int\limits_a^{b-\varepsilon}f(x)dx\/.}$$

6.2. zīm.

Ja eksistē galīga robeža, tad saka, ka neīstais integrālis konverģē, šo robežu nosauc par neīstā integrāļa vērtību. Pretējā gadījumā saka, ka neīstais integrālis diverģē.

Ja $f(x)\geq 0$, tad šādu neīsto integrāli $\int\limits_a^bf(x)dx$ var interpretēt ģeometriski kā bezgalīgi augstas līklīnijas trapeces laukumu (6.2. zīm.).

Analogi apzīmē un definē neīsto integrāli, kad zemintegrāļa funkcija nav ierobežota punkta $a$ apkārtnē, proti,

$$\boxed{\int\limits_a^bf(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0} \int\limits_{a+\varepsilon}^bf(x)dx\/.}$$

Ja zemintegrāļa funkcija ir neierobežota integrēšanas intervāla $[a;b]$ iekšējā punktā $c$, tad šādu neīsto integrāli definē kā divu iepriekš apskatīto integrāļu summu (6.3. zīm.), t.i.,

$$\boxed{\int\limits_a^bf(x)dx= \int\limits_a^cf(x)dx+\int\limits_c^bf(x)dx\/.}$$

6.3. zīm.

Pie tam integrāli $\int\limits_a^bf(x)dx$ sauc par konverģentu, ja konverģē abi labās puses integrāļi.

6.3. piezīme. 

Otrā veida neīstajiem integrāļiem ir spēkā salīdzināšanas teorēmas, kas ir analogas atbilstošajām teorēmām par pirmā veida neīstajiem integrāļiem.

6.3. piemērs. 

Izpētīt uz konverģenci šādus neīstos integrāļus

$$1. \;\;\int\limits_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x}}; 2. \;\;\int\limits_1^2\frac{dx}{1-x};$$

$$3. \;\;\int\limits_{-1}^1\frac{dx}{x^2}; 4. \;\;\int\limits_0^1\frac{e^xdx}{(1-x)^2}.$$

1. Funkcija $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}$ ir neierobežota punkta $x=1$ apkārtnē, tāpēc
   $$\begin{multline*} \int\limits_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x}}= \lim\limits_{\varepsil... ...\limits_{\varepsilon\rightarrow 0}(-2\sqrt{\varepsilon}+2)=2\/. \end{multline*}$$
   
   
   Otrā veida neīstais integrālis konverģē un tā skaitliskā vērtība ir $2$.
2. Funkcija $f(x)=\frac{1}{1-x}$ ir neierobežota punkta $x=1$ apkārtnē, tāpēc
   $$\begin{multline*} \int\limits_1^2\frac{dx}{1-x}=\lim\limits_{\varepsilon\righta... ...mits_{\varepsilon\rightarrow 0}(-\ln 1+\ln\varepsilon)=-\infty. \end{multline*}$$
   
   
   Neīstais integrālis diverģē.
3. Funkcija $f(x)=\frac{1}{x^2}$ nav ierobežota punkta $x=0$ apkārtnē, tāpēc
   $$\int\limits_{-1}^1\frac{dx}{x^2}=\int\limits_{-1}^0\frac{dx}{x^2}+ \int\limits_0^1\frac{dx}{x^2}\/.$$
   Apskata atsevišķi katru labās puses integrāli.
   $$\int\limits_{-1}^0\frac{dx}{x^2}=\lim\limits_{\varepsilon\rightar... ...imits_{\varepsilon\rightarrow 0}\left(\frac{1}{\varepsilon}-1\right)=+\infty\/.$$
   Analogi
   $$\int\limits_0^1\frac{dx}{x^2}=\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow... ...mits_{\varepsilon\rightarrow 0}\left(-1+\frac{1}{\varepsilon}\right)=+\infty\/.$$
   Abi neīstie integrāļi diverģē, diverģē arī dotais neīstais integrālis (lai noskaidrotu tā diverģenci, ir pietiekami noskaidrot tikai viena labās puses integrāļa diverģenci.)

   Piezīme.

   Ja neievērotu, ka ir dots neīstais integrālis, t.i., ka zemintegrāļa funkcija ir neierobežota integrēšanas intervāla iekšējā punktā $x=0$, un aprēķinus veiktu pēc Ņūtona-Leibnica formulas:

   $$\int\limits_{-1}^1\frac{dx}{x^2}=-\frac{1}{x}\bigg\vert _{-1}^1=-2\/,$$

   tad, protams, pieļautu rupju kļūdu.

4. Funkcija $f(x)=\frac{e^x}{(1-x)^2}$ ir neierobežota punkta $x=1$ apkārtnē. Intervālā $[0;1-\varepsilon]$ funkcija ir nepārtraukta, tātad tai eksistē primitīvā funkcija, bet šo primitīvo funkciju nevar izteikt caur galīga skaita elementārajām funkcijām. Lai izpētītu šo integrāli uz konverģenci, pielieto salīdzināšanas teorēmu. Visiem $0\leq x<1$ ir spēkā nevienādība
   $$\frac{e^x}{(1-x)^2}\geq\frac{1}{(1-x)^2}>0\/.$$
   Pie tam neīstais integrālis $\int\limits_0^1\frac{dx}{(1-x)^2}$ diverģē. Tādējādi diverģē arī dotais neīstais integrālis.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 6.4. Jautājumi Augstāk: 6. NEĪSTIE INTEGRĀĻI Iepriekšējais: 6.2. Pirmā veida neīstie integrāļi