Matemātika DU TSC
Nākamais: 6.3. Otrā veida neīstie integrāļi Augstāk: 6. NEĪSTIE INTEGRĀĻI Iepriekšējais: 6.1. Neīstā integrāļa jēdziens

6.2. Pirmā veida neīstie integrāļi

Apskata bezgalīgā intervālā $[a;+\infty)$ nepārtrauktu funkciju $f(x)$. Jebkurā galīgā intervālā šī funkcija ir integrējama un tāpēc eksistē $\int\limits_a^bf(x)dx$.

Pirmā veida neīsto integrāli $\int\limits_a^{+\infty}f(x)dx$ definē šādi:

$$\boxed{\int\limits_a^{+\infty}f(x)dx= \lim\limits_{b\rightarrow +\infty}\int\limits_a^bf(x)dx\/.}$$

Ja eksistē galīga robeža, tad saka, ka neīstais integrālis konverģē un šo robežu nosauc par neīstā integrāļa vērtību. Pretējā gadījumā saka, ka neīstais integrālis diverģē.

6.1. piemērs. 

Izpētīt uz konverģenci šādus neīstos integrāļus:

1. $\int\limits_1^{+\infty}\frac{1}{x}\;dx$,
2. $\int\limits_1^{+\infty}\frac{dx}{x^2}$.

1. $\int\limits_1^{+\infty}\frac{dx}{x}= \lim\limits_{b\rightarrow +\infty}\int\li... ...t x\vert\big\vert _1^b= \lim\limits_{b\rightarrow +\infty}(\ln b-\ln 1)=+\infty$.
   Neīstais integrālis diverģē.
2. $\int\limits_1^{+\infty}\frac{dx}{x^2}= \lim\limits_{b\rightarrow +\infty}\int\... ...bigg\vert _1^b= \lim\limits_{b\rightarrow +\infty}\left(-\frac{1}{b}+1\right)=1$.
   Neīstais integrālis konverģē un tā skaitliskā vērtība ir $1$.

Ģeometriski neīstā integrāļa $\int\limits_1^{+\infty}\frac{dx}{x^2}$ vērtību var interpretēt kā bezgalīgas līklīnijas trapeces laukumu. Neīstajam integrālim $\int\limits_1^{+\infty}\frac{dx}{x}$ šādu ģeometrisko interpretāciju sniegt nevar. Tas ir izskaidrojams ar to, ka līnija $y=\frac{1}{x^2}$ ļoti strauji tuvojas abscisu asij, kad $x\rightarrow +\infty$, bet otra līnija $y=\frac{1}{x}$ tuvojas tai daudz lēnāk, kaut gan abscisu ass ir asimptota arī šai līnijai (6.1. zīm.).

6.1. zīm.

Neīsto integrāli ar bezgalīgu apakšējo integrēšanas robežu definē līdzīgi:

$$\boxed{\int\limits_{-\infty}^bf(x)dx= \lim\limits_{a\rightarrow -\infty}\int\limits_a^bf(x)dx\/.}$$

Neīsto integrāli, kuram abas integrēšanas robežas ir bezgalīgas, definē šādi:

$$\boxed{\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx= \int\limits_{-\infty}^cf(x)dx+\int\limits_c^{+\infty}f(x)dx\/.}$$

6.1. piezīme. 

$\phantom{}$

1. Šāda neīstā integrāļa raksturs un konverģences gadījumā arī skaitliskā vērtība nav atkarīga no $c$ izvēles (var izvēlēties $c=0$).
2. Integrāli $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ sauc par konverģentu tad un tikai tad, kad konverģē abi neīstie integrāļi
   $$\int\limits_{-\infty}^cf(x)dx$$   un$$\quad\int\limits_c^{+\infty}f(x)dx\/.$$

Neīsto integrāļu pētīšana nesagādā grūtības, ja zemintegrāļa funkcijai $f(x)$ var atrast primitīvo funkciju $F(x)$. Turpretī, ja zemintegrāļa funkcijai primitīvo funkciju atrast neizdodas, tad neīstos integrāļus pēta uz konverģenci, izmantojot salīdzināšanas teorēmu.

6.1. teorēma. 

[Salīdzināšanas teorēma]
Ja $f,g$ ir intervālā $[a;+\infty]$ nepārtrauktas funkcijas un visām argumenta vērtībām no šī intervāla ir spēkā nevienādība
$0\leq f(x)\leq g(x)$, tad

1. ja $\int\limits_a^{+\infty}g(x)dx$ konverģē, tad konverģē arī $\int\limits_a^{+\infty}f(x)dx$;
2. ja $\int\limits_a^{+\infty}f(x)dx$ diverģē, tad diverģē arī $\int\limits_a^{+\infty}g(x)dx$.

$\blacktriangleright$ 1. Tā kā neīstais integrālis $\int\limits_a^{+\infty}g(x)dx$ konverģē, tad eksistē galīga robeža $\mathfrak{I}=\lim\limits_{b\rightarrow +\infty}\int\limits_a^bg(x)dx$.

Visiem $b>a$ ir spēkā nevienādība

$$\int\limits_a^bf(x)dx\leq \int\limits_a^bg(x)dx\leq\mathfrak{I}\/.$$

Tas nozīmē, ka $\int\limits_a^bf(x)dx$ ir integrēšanas augšējās robežas $b$ augoša un ierobežota no augšas funkcija. Tāpēc eksistē galīga robeža $\lim\limits_{b\rightarrow +\infty}\int\limits_a^bf(x)dx$, kas nepārsniedz $\mathfrak{I}$, t.i.,

$$\lim\limits_{b\rightarrow +\infty}\int\limits_a^bf(x)dx\leq\mathfrak{I}\/.$$

Tas nozīmē, ka neīstais integrālis $\int\limits_a^{+\infty}f(x)dx$ konverģē.

2. Tā kā neīstais integrālis $\int\limits_a^{+\infty}f(x)dx$ diverģē un $\int\limits_a^bf(x)dx$ ir integrēšanas augšējās robežas $b$ nenegatīva un augoša funkcija, tad

$$\lim\limits_{b\rightarrow +\infty}\int\limits_a^bf(x)dx=+\infty\/.$$

Tā kā jebkuram $b>a$ ir spēkā nevienādība

$$\int\limits_a^bg(x)dx\geq\int\limits_a^bf(x)dx\/,$$

tad arī

$$\lim\limits_{b\rightarrow +\infty}\int\limits_a^bg(x)dx=+\infty\/,$$

t.i., neīstais integrālis $\int\limits_a^{+\infty}g(x)dx$ diverģē. $\blacktriangleleft$

6.2. piezīme. 

$\phantom{}$

1. Ja $f,g$ intervālā $[a;+\infty)$ nepārtrauktas funkcijas un visām argumenta vērtībām no šī intervāla $f(x)\leq g(x)\leq 0$, tad no integrāļa $\int\limits_a^{+\infty}f(x)dx$ konverģences izriet $\int\limits_a^{+\infty}g(x)dx$ konverģence un no $\int\limits_a^{+\infty}g(x)dx$ diverģences izriet $\int\limits_a^{+\infty}f(x)dx$ diverģence.
2. Neīstos integrāļus bieži salīdzina ar šādu neīsto integrāli $\int\limits_1^{+\infty}\frac{1}{x^k}\;dx$.
   Viegli pamatot, ka šāds integrālis konverģē, ja $k>1$, un diverģē, ja $k\leq 1$ (Pamatot patstāvīgi).

6.2. teorēma. 

Ja integrālis $\int\limits_a^{+\infty}\vert f(x)\vert dx$ konverģē, tad konverģē arī integrālis $\int\limits_a^{+\infty}f(x)dx$.

$\blacktriangleright$ Apskata divas palīgfunkcijas

$$f_1(x)=\frac{\vert f(x)\vert+f(x)}{2}$$   un$$\quad f_2(x)=\frac{\vert f(x)\vert-f(x)}{2}\/.$$

Abas šīs funkcijas intervālā $[a;+\infty)$ ir nenegatīvas, pie tam

$$f_1(x)\leq\vert f(x)\vert,\quad f_2(x)\leq\vert f(x)\vert\/.$$

Saskaņā ar salīdzināšanas teorēmu neīstie integrāļi

$$\int\limits_a^{+\infty}f_1(x)dx$$   un$$\quad \int\limits_a^{+\infty}f_2(x)dx$$

konverģē. Tātad konverģē arī neīstais integrālis

$$\int\limits_a^{+\infty}f(x)dx\/,$$

jo $f(x)=f_1(x)-f_2(x)$ un

$$\int\limits_a^{+\infty}f(x)dx=\int\limits_a^{+\infty}f_1(x)dx- \int\limits_a^{+\infty}f_2(x)dx\/.\;\blacktriangleleft$$

6.4. definīcija. 

Neīsto integrāli $\int\limits_a^{+\infty}f(x)dx$ sauc par absolūti konverģentu, ja konverģē integrālis $\int\limits_a^{+\infty}\vert f(x)\vert dx$.

6.5. definīcija. 

Konverģentu neīsto integrāli $\int\limits_a^{+\infty}f(x)dx$ sauc par nosacīti (neabsolūti) konverģentu, ja diverģē integrālis $\int\limits_a^{+\infty}\vert f(x)\vert dx$.

6.2. piemērs. 

Izpētīt uz konverģenci šādus neīstos integrāļus

1. $\int\limits_1^{+\infty}\frac{dx}{x^2(1+\ln x)}$,
2. $\int\limits_1^{+\infty}\frac{x}{2\sqrt{x}-1}\;dx$,
3. $\int\limits_1^{+\infty}\frac{1-5\cos x}{x^2}\;dx$.

1. Visiem $x\geq 1$ izpildās nevienādības
   $$0<\frac{1}{x^2(1+\ln x)}\leq\frac{1}{x^2}\/,$$
   pie tam neīstais integrālis $\int\limits_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx$ konverģē. Saskaņā ar salīdzināšanas teorēmu konverģē integrālis
   $$\int\limits_1^{+\infty}\frac{dx}{x^2(1+\ln x)}\/.$$

2. Visiem $x\geq 1$ izpildās nevienādības
   $$\frac{x}{2\sqrt{x}-1}>\frac{x}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2}\sqrt{x}>0\/,$$
   pie tam neīstais integrālis $\int\limits_1^{+\infty}\sqrt{x}dx$ diverģē. Saskaņā ar salīdzināšanas teorēmu diverģē integrālis
   $$\int\limits_1^{+\infty}\frac{xdx}{2\sqrt{x}-1}\/.$$

3. Šoreiz zemintegrāļa funkcija intervālā $[1;+\infty)$ pieņem gan pozitīvas, gan negatīvas vērtības.
   Visiem $x\geq 1$ izpildās nevienādība
   $$\left\vert\frac{1-5\cos x}{x^2}\right\vert\leq\frac{6}{x^2}\/,$$
   pie tam neīstais integrālis $\int\limits_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx$ konverģē. Tāpēc konverģē integrālis
   $$\int\limits_1^{+\infty}\left\vert\frac{1-5\cos x}{x^2}\right\vert dx\/.$$
   Tādējādi integrālis
   $$\int\limits_1^{+\infty}\frac{1-5\cos x}{x^2}dx$$
   konverģē absolūti.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 6.3. Otrā veida neīstie integrāļi Augstāk: 6. NEĪSTIE INTEGRĀĻI Iepriekšējais: 6.1. Neīstā integrāļa jēdziens