Matemātika
DU TSC
Nākamais: 5.2. Rektificējama (iztaisnojama) līkne un tās
Augstāk: 5. NOTEIKTĀ INTEGRĀĻA LIETOJUMI
Iepriekšējais: 5. NOTEIKTĀ INTEGRĀĻA LIETOJUMI
Laukumu izskaitļošana ir viens no pamatuzdevumiem, kas noveda pie
noteiktā integrāļa jēdziena.
- Apskata plaknes figūru
, kuru no augšas ierobežo intervālā
nepārtrauktas funkcijas
grafiks, no apakšas - šajā
intervālā nepārtrauktas funkcijas
grafiks, pie tam visiem
, bet no sāniem - taisnes
un
(5.1. zīm.).
Figūra
- kvadrējama kā divu kvadrējamu figūru (līklīnijas trapeču
un
) starpība, pie tam
Tādējādi
 |
(5.1) |
- Apskata plaknes figūru
, kuru no augšas ierobežo intervālā
nepārtrauktas funkcijas
grafiks, no apakšas - šajā
intervālā nepārtrauktas funkcijas
grafiks, pie tam visiem
, bet no sāniem - taisnes
un
(5.2. zīm.).
Atšķirībā no 1. gadījuma šoreiz funkcijas
un
intervālā
var pieņemt arī negatīvas vērtības.
Apzīmē ar
.
Apskata plaknes figūru
, kuru no apakšas ierobežo funkcijas
grafiks, no augšas - funkcijas
grafiks, bet no
sāniem - taisnes
un
(5.2. zīm.).
Figūras
un
ir vienādas, tāpēc
. Figūras
laukumu var izskaitļot pēc formulas (5.1), jo funkcijas
,
intervālā
ir nenegatīvas.
tādējādi
-
5.1. piezīme.
-
- Formula (5.1) ir spēkā arī tajos gadījumos, kad
visa figūra
vai arī šīs figūras daļa atrodas zem abscisu ass.
- Bieži doto plaknes figūru
vajag sadalīt galīga skaita
tādās figūrās, kuru laukumus var aprēķināt pēc formulas
(5.1). Dotās figūras laukums būs vienāds ar tās daļu
laukumu summu.
-
5.1. piemērs.
- Aprēķināt laukumu figūrai, kuru ierobežo parabola
un taisne
.
Koordinātu sistēmā konstruē parabolu
un taisni
,
iegūst plaknes figūru
(5.3. zīm.).
Figūru no augšas ierobežo parabola
, bet no apakšas - taisne
.
- Apskata līklīnijas trapeci, kuru no augšas ierobežo
parametriskā veidā uzdota līkne ar vienādojumiem
pie tam
maiņai no
līdz
atbilst
maiņa no
līdz
.
Funkcija
- stingri monotona un nepārtraukti
diferencējama, bet
- nepārtraukta atbilstošajā intervālā.
Kā zināms, minētā sistēma parametriskā veidā uzdod intervālā
nepārtrauktu funkciju
.
Līklīnijas trapeces laukumu var aprēķināt pēc formulas
(5.1):
Formulā (5.1) izpilda mainīgā aizvietošanu
un iegūst:
Tādējādi
 |
(5.2) |
-
5.2. piemērs.
- Aprēķināt laukumu figūrai, kuru ierobežo elipse
Elipses parametriskais vienādojums ir
Pēc formulas (5.2) izskaitļo figūras tās daļas, kas
atrodas 1. kvadrantā, laukumu (5.4. zīm.).
Argumenta
maiņai no 0 līdz
atbilst parametra
maiņa no
līdz 0.
-
5.3. piemērs.
- Aprēķināt laukumu figūrai, kuru ierobežo Arhimeda
spirāles
viena vītne un
polārā ass.
Lai aprakstītu Arhimeda spirāles vienu vītni, parametrs
mainās no 0 līdz
(5.5. zīm.).
Laukuma aprēķināšanai lieto līklīnijas sektora laukuma aprēķināšanas
formulu
Matemātika
DU TSC
Nākamais: 5.2. Rektificējama (iztaisnojama) līkne un tās
Augstāk: 5. NOTEIKTĀ INTEGRĀĻA LIETOJUMI
Iepriekšējais: 5. NOTEIKTĀ INTEGRĀĻA LIETOJUMI
2002-11-06