Matemātika DU TSC
Nākamais: 5.2. Rektificējama (iztaisnojama) līkne un tās Augstāk: 5. NOTEIKTĀ INTEGRĀĻA LIETOJUMI Iepriekšējais: 5. NOTEIKTĀ INTEGRĀĻA LIETOJUMI

5.1. Laukuma aprēķināšana ar noteikto integrāli

Laukumu izskaitļošana ir viens no pamatuzdevumiem, kas noveda pie noteiktā integrāļa jēdziena.

1. Apskata plaknes figūru $F$, kuru no augšas ierobežo intervālā $[a;b]$ nepārtrauktas funkcijas $g(x)$ grafiks, no apakšas - šajā intervālā nepārtrauktas funkcijas $f(x)$ grafiks, pie tam visiem $x\in[a;b]$
   $0\leq f(x)\leq g(x)$, bet no sāniem - taisnes $x=a$ un $x=b$ (5.1. zīm.).

   

   5.1. zīm.

   Figūra $F$ - kvadrējama kā divu kvadrējamu figūru (līklīnijas trapeču $F_1$ un $F_2$) starpība, pie tam

   $$mF=mF_1-mF_2=\int\limits_a^bg(x)dx-\int\limits_a^bf(x)dx= \int\limits_a^b\bigl(g(x)-f(x)\bigr)dx\/.$$
   Tādējādi

   $$\boxed{S=\int\limits_a^b\bigl(g(x)-f(x)\bigr)dx.}$$ (5.1)

   
   

2. Apskata plaknes figūru $F$, kuru no augšas ierobežo intervālā $[a;b]$ nepārtrauktas funkcijas $g(x)$ grafiks, no apakšas - šajā intervālā nepārtrauktas funkcijas $f(x)$ grafiks, pie tam visiem $x\in[a;b]$ $f(x)\leq g(x)$, bet no sāniem - taisnes $x=a$ un $x=b$ (5.2. zīm.).

   

   5.2. zīm.

   Atšķirībā no 1. gadījuma šoreiz funkcijas $f(x)$ un $g(x)$ intervālā $[a;b]$ var pieņemt arī negatīvas vērtības.

   Apzīmē ar $-A=\inf\limits_{[a;b]}f(x)=\min\limits_{[a;b]}f(x)$ $(A>0)$.
   Apskata plaknes figūru $F^*$, kuru no apakšas ierobežo funkcijas $f(x)+A$ grafiks, no augšas - funkcijas $g(x)+A$ grafiks, bet no sāniem - taisnes $x=a$ un $x=b$ (5.2. zīm.).
   Figūras $F^*$ un $F$ ir vienādas, tāpēc $mF^*=mF$. Figūras $F^*$ laukumu var izskaitļot pēc formulas (5.1), jo funkcijas $f(x)+A$, $g(x)+A$ intervālā $[a;b]$ ir nenegatīvas.
   $$mF^*=\int\limits_a^b\Bigl(\bigl(g(x)+A\bigr)-\bigl(f(x)+A\bigr)\Bigr)dx= \int\limits_a^b\bigl(g(x)-f(x)\bigr)dx\/,$$
   tādējādi
   $$mF=\int\limits_a^b\bigl(g(x)-f(x)\bigr)dx\/.$$

   5.1. piezīme. 

   $\phantom{}$

   1. Formula (5.1) ir spēkā arī tajos gadījumos, kad visa figūra $F$ vai arī šīs figūras daļa atrodas zem abscisu ass.
   2. Bieži doto plaknes figūru $F$ vajag sadalīt galīga skaita tādās figūrās, kuru laukumus var aprēķināt pēc formulas (5.1). Dotās figūras laukums būs vienāds ar tās daļu laukumu summu.

   5.1. piemērs. 

   Aprēķināt laukumu figūrai, kuru ierobežo parabola $y=-x^2$ un taisne $x+y=0$.

   Koordinātu sistēmā konstruē parabolu $y=-x^2$ un taisni $y=-x$, iegūst plaknes figūru $F$ (5.3. zīm.).

   

   5.3. zīm.
   Figūru no augšas ierobežo parabola $y=-x^2$, bet no apakšas - taisne $y=-x$.
   $$\begin{multline*} S=\int\limits_0^1\bigl(-x^2-(-x)\bigr)dx=\int\limits_0^1(-x^2+... ...right)\Biggl\vert _{0}^{1}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{1}{6}. \end{multline*}$$
   
   

3. Apskata līklīnijas trapeci, kuru no augšas ierobežo parametriskā veidā uzdota līkne ar vienādojumiem
   $$\left\{\begin{array}{c} x=\varphi(t), \\ y=\psi(t) \ \end{array}\right.$$
   pie tam $x$ maiņai no $a$ līdz $b$ $(a<b)$ atbilst $t$ maiņa no $\alpha$ līdz $\beta$.
   Funkcija $\varphi(t)$ - stingri monotona un nepārtraukti diferencējama, bet $\psi(t)$ - nepārtraukta atbilstošajā intervālā. Kā zināms, minētā sistēma parametriskā veidā uzdod intervālā $[a;b]$ nepārtrauktu funkciju $f(x)$.
   Līklīnijas trapeces laukumu var aprēķināt pēc formulas (5.1):
   $$S=\int\limits_a^bf(x)dx\/.$$
   Formulā (5.1) izpilda mainīgā aizvietošanu $x=\varphi(t)$ un iegūst:
   $$S=\int\limits_\alpha^\beta f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)dt= \int\limits_\alpha^\beta\psi(t)\varphi'(t)dt\/.$$
   Tādējādi

   $$\boxed{S=\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\varphi'(t)dt.}$$ (5.2)

   
   

5.2. piemērs. 

Aprēķināt laukumu figūrai, kuru ierobežo elipse

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\/.$$

Elipses parametriskais vienādojums ir

$$\left\{\begin{array}{c} x=a\cos t, \\ y=b\sin t, \ \end{array}\right.\;\;0\leq t\leq 2\pi\/.$$

Pēc formulas (5.2) izskaitļo figūras tās daļas, kas atrodas 1. kvadrantā, laukumu (5.4. zīm.).

5.4. zīm.

Argumenta $x$ maiņai no 0 līdz $a$ atbilst parametra $t$ maiņa no $\frac{\pi}{2}$ līdz 0.

$$\begin{multline*} S=4\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^0b\sin t(-a\sin t)dt=-4ab\int\l... ..._{\frac{\pi}{2}}^0=\\ =-2ab\left(0-\frac{\pi}{2}\right)=\pi ab. \end{multline*}$$

5.3. piemērs. 

Aprēķināt laukumu figūrai, kuru ierobežo Arhimeda spirāles $\rho=a\varphi$ $(0\leq\varphi<+\infty)$ viena vītne un polārā ass.

Lai aprakstītu Arhimeda spirāles vienu vītni, parametrs $\varphi$ mainās no 0 līdz $2\pi$ (5.5. zīm.).

5.5. zīm.

Laukuma aprēķināšanai lieto līklīnijas sektora laukuma aprēķināšanas formulu

$$S=\frac{1}{2}\int\limits_\alpha^\beta\rho^2(\varphi)d\varphi\/.$$

$$S=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2\pi}(a\varphi)^2d\varphi= \frac{a^2}{2}\cdot\frac{\varphi^3}{3}\Bigg\vert _0^{2\pi}=\frac{4}{3}\pi^3a^2\/.$$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 5.2. Rektificējama (iztaisnojama) līkne un tās Augstāk: 5. NOTEIKTĀ INTEGRĀĻA LIETOJUMI Iepriekšējais: 5. NOTEIKTĀ INTEGRĀĻA LIETOJUMI