Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.6. Jautājumi Augstāk: 3. INTEGRĀLIS AR MAINĪGU AUGŠĒJO ROBEŽU Iepriekšējais: 3.4. Integrāļi no pāra vai nepāra

3.5. Logaritmiskās funkcijas definēšana ar integrāli

Visbiežāk logaritmisko funkciju definē kā apvērsto funkciju eksponentfunkcijai. Taču logaritmisko funkciju var definēt arī kā integrāli ar mainīgu augšējo integrēšanas robežu, t.i.,

$$\boxed{\ln x=\int\limits_1^x\frac{dt}{t}\;\;(x>0).}$$

Atliek parādīt, ka no šīs definīcijas un integrāļa īpašībām seko visas logaritmiskās funkcijas īpašības.

1. Definīcijas apgabals (norādīts definīcijā) ir intervāls $(0,+\infty)$.
2. $\ln x$ ir nepārtraukta funkcija kā integrālis ar mainīgu augšējo robežu no nepārtrauktas (integrējamas) funkcijas $\frac{1}{x}\;(x>0)$.
3. Atrod
   $$(\ln x)'=\left(\int\limits_1^x\frac{dt}{t}\right)'=\frac{1}{x}\/.$$
   Visiem $x>0$ $(\ln x)'>0$, tas nozīmē, ka $\ln x$ ir augoša funkcija.
4. Atrod
   $$(\ln x)''=\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2}<0\/,$$
   tātad $\ln x$ ir izliekta funkcija.
5. Atrod
   $$\ln 1=\int\limits_1^1\frac{dt}{t}=0\/.$$

6. Apskata
   $$\begin{multline*} \ln\frac{x_1}{x_2}=\int\limits_1^{\frac{x_1}{x_2}}\frac{dt}{t... ...u}- \int\limits_1^{x_2}\frac{d\tau}{\tau}=\\ =\ln x_1-\ln x_2. \end{multline*}$$
   
   
   Tātad
   $$\ln\frac{x_1}{x_2}=\ln x_1-\ln x_2\/.$$
   Atrod
   $$\ln\frac{1}{x}=\ln 1-\ln x=0-\ln x=-\ln x\/.$$
   Tātad
   $$\ln\frac{1}{x}=-\ln x\/.$$
   Atrod
   $$\ln(x_1x_2)=\ln\left(\frac{x_1}{\frac{1}{x_2}}\right)= \ln x_1-\ln\frac{1}{x_2}=\ln x_1-(-\ln x_2)=\ln x_1+\ln x_2\/.$$
   Tātad
   $$\ln(x_1x_2)=\ln x_1+\ln x_2\/.$$

7. Parāda, ka $\ln x^\alpha=\alpha\ln x\;\;(\alpha\in\mathbb{R})$.
   1. Ja $\alpha=n\;(n\in\mathbb{N})$, tad
      $$\ln\underbrace{(xx\cdots x)}_{n~- \text{reizes}}= \underbrace{\ln x+\ln x+\cdots +\ln x}_{n~- \text{reizes}}=n\ln x\/.$$

   2. Ja $\alpha=-n\;(n\in\mathbb{N})$, tad
      $$\ln x^{-n}=\ln\frac{1}{x^n}=-\ln x^n=-n\ln x\/.$$

   3. Ja $\alpha=0$, tad
      $$\ln x^0=\ln 1=0=0\cdot\ln x\/.$$
      Tātad jebkuram veselam skaitlim $\alpha\;(\alpha\in\mathbb{Z})$ ir spēkā vienādība
      $$\ln x^\alpha=\alpha\ln x\/.$$

   4. Ja $\alpha$ ir racionāls skaitlis ( $\alpha\in\mathbb{Q}$), tad
      $$\alpha=\frac{m}{n}\quad(m\in\mathbb{Z}, n\in\mathbb{N})\/.$$
      Apskata vispirms
      $$\ln x=\ln\left(\sqrt[n]{x}\right)^n=n\ln\sqrt[n]{x}\/.$$
      Tātad
      $$\ln\sqrt[n]{x}=\frac{1}{n}\ln x\/.$$
      Apskata
      $$\ln x^r=\ln x^{\frac{m}{n}}=\ln\left(\sqrt[n]{x}\right)^m= m\ln\sqrt[n]{x}=m\frac{1}{n}\ln x=\frac{m}{n}\ln x=r\ln x\/.$$

   5. Ja $\alpha$ ir iracionāls skaitlis ( $\alpha\in\mathfrak{I}$), tad saskaņā ar pozitīva skaitļa $x$ pakāpes ar iracionālu kāpinātāju definīciju
      $$x^\alpha=\lim\limits_{r\rightarrow\alpha}x^r\/,$$
      kur $r\in\mathbb{Q}$.
      Tātad
      $$\ln x^\alpha=\ln\left(\lim\limits_{r\rightarrow\alpha}x^r\right)=... ...ghtarrow\alpha}\ln x^r=\lim\limits_{r\rightarrow\alpha}(r\ln x)= \alpha\ln x\/.$$
      (Tika izmantota logaritmiskās funkcijas nepārtrauktība). Tādējādi jebkuram $\alpha\in\mathbb{R}$ ir spēkā vienādība
      $$\ln x^\alpha=\alpha\ln x\/.$$

   6. Tā kā $\ln 1=0$ un $\ln x$ ir augoša funkcija, tad $\ln 2>0$.
      Ja $x>2^n$, tad $\ln x>\ln 2^n=n\ln 2$. Seko, ka $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\ln x=+\infty$.
      Tā kā $\ln x=-\ln\frac{1}{x}$, tad
      $$\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\ x>0}}\ln x= -\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\ x>0}}\ln\frac{1}{x}=-\infty\/.$$
      Tātad $\ln x$ pieņem jebkuras negatīvas un jebkuras pozitīvas vērtības. Tādējādi $\ln x$ vērtību apgabals ir intervāls $(-\infty, +\infty)$.
      Saskaņā ar Bolcano-Košī teorēmu par nepārtrauktas funkcijas starpvērtībām eksistē tāda vērtība, kuru apzīmē ar $e$, ka $\ln e=1$ (pie tam tāda vērtība ir vienīgā, jo $\ln x$ ir augoša funkcija).
      Tā kā
      $$\ln e=\int\limits_1^e\frac{dt}{t}\/,$$
      tad
      $$\int\limits_1^e\frac{dt}{t}=1\/.$$
      No ģeometriskā viedokļa tas nozīmē, ka atbilstošai līklīnijas trapecei, kuru no augšas ierobežo hiperbolas $y=\frac{1}{x}$ zars, laukums ir $1$ (3.1. zīm.).

      

      3.1. zīm.

   7. Apskata
      $$\ln e^x=x\ln e=x\cdot 1=x\/.$$
      Tas nozīmē, ka ar integrāli definētā logaritmiskā funkcija ir eksponentfunkcijai apvērstā funkcija.

      Piezīme.

      Logaritmisko funkciju ar patvaļīgu bāzi $a$ definē šādi:

      $$\log_ax=\frac{\ln x}{\ln a}\/.$$

      No šīs definīcijas un funkcijas $\ln x$ īpašībām izriet funkcijas $\log_ax$ atbilstošās īpašības.
      (Iegūt un pamatot šīs īpašības patstāvīgi).

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.6. Jautājumi Augstāk: 3. INTEGRĀLIS AR MAINĪGU AUGŠĒJO ROBEŽU Iepriekšējais: 3.4. Integrāļi no pāra vai nepāra