Matemātika DU TSC
Nākamais: 5.2.1. Jautājumi Augstāk: 5. PIELIKUMS Iepriekšējais: 5.1.2. Vingrinājumi

5.2. Netieši uzdotās funkcijas

Apskata divu argumentu funkciju $F(x,y)$ un vienādojumu

$$F(x,y)=0.$$ (5.1)

Plaknes apakškopu $G_F$ sauc par vienādojuma grafiku, ja šīs kopas punkti apmierina vienādojumu (5.1). Apzīmē ar $A_F$ grafika $G_F$ projekciju uz abscisu asi. Turpmāk apskata tādus vienādojumus (5.1), kuru grafiks nav tukša kopa.

Piemēram, vienādojuma $x^2+y^2-1=0$ grafiks ir riņķa līnija, bet vienādojuma $(x-1)(x+y-1)=0$ grafiks ir taisnes $x=1$ un $x+y-1=0$.

Ja vienādojuma (5.1) grafiks $G_F$ savstarpēji viennozīmīgi projicējas uz $A_F$, tad eksistē tāda vienīgā reālā mainīgā $x$ funkcija $f$ ar definīcijas apgabalu $A_F$, kuras grafiks sakrīt ar vienādojuma (5.1) grafiku. Funkcija $f$ katram $x\in A_F$ piekārto to vienīgo $y$, kuram $F(x,y)=0$. Tādos gadījumos saka, ka vienādojums (5.1) netieši (apslēptā veidā) uzdod mainīgā $x$ funkciju $f$.

Bieži vienādojuma (5.1) grafiks $G_F$ neprojicējas viennozīmīgi uz $A_F$. Tādos gadījumos kopā $A_F$ ir uzdotas bezgalīgi daudzas $x$ funkcijas, kuru grafiki sakrīt ar vienādojuma (5.1) grafika $G_F$ kaut kādu apakškopu. Piemēram, ja intervālu $[-1,1]$ sasmalcina ar starppunktiem

$$-1=x_0<x_1<\cdots <x_n=1$$

un katrā no intervāliem $[x_{i-1},x_i]$ funkciju $f(x)$ uzskata vienādu ar $\sqrt{1-x^2}$ vai $-\sqrt{1-x^2}$, tad iegūst funkcijas $f$ grafiku, kas ir vienādojuma

$$x^2+y^2-1=0$$

grafika kaut kāda apakškopa, jo $x^2+(f(x))^2-1=0$.

Pieņem, ka vienādojuma (5.1) grafiks $G_F$ neprojicējas viennozīmīgi uz $A_F$, bet eksistē tāds taisnstūris

$$K=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\vert\;a\leq x\leq b,\;c\leq y\leq d\right\}\/,$$

ka grafika $G_F$ tā daļa, kas atrodas šajā taisnstūrī, viennozīmīgi projicējas uz $[a,b]$. Tad eksistē vienīgā reālā mainīgā $x$ funkcija $f$, kas uzdota intervālā $[a,b]$, kura katram $x\in [a,b]$ piekārto tādu vienīgo $y\in [c,d]$, ka $(x,y)\in G_F$. Acīmredzami $F(x,f(x))\equiv 0$.

Saka, ka funkcija $f(x)$ netieši uzdota taisnstūrī $K$ ar vienādojumu (5.1).

Piemēram, vienādojums $x^2+y^2-1=0$ taisnstūrī

$$-1\leq x\leq 1,\;\; 0\leq y\leq 1$$

netieši uzdod funkciju $f(x)=\sqrt{1-x^2}$, bet taisnstūrī

$$-1\leq x\leq 1,\;\;-1\leq y\leq 0$$

uzdod funkciju $f(x)=-\sqrt{1-x^2}$.

5.2. teorēma. 

(Netieši uzdotas funkcijas eksistence un diferencējamība).

Ja funkcijai $F(x,y)$ punkta $(x_0,y_0)$ kaut kādā apkārtnē eksistē nepārtraukti parciālie atvasinājumi $F_x'(x,y)$, $F_y'(x,y)$ un $F(x_0,y_0)=0$, $F_y'(x_0,y_0)\neq 0$, tad eksistē tāds taisnstūris

$$K=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\bigl\vert \;x_0-a\leq x\leq x_0+a,\;y_0-b\leq y\leq y_0+b\right\}\/,$$

kurā vienādojums $F(x,y)=0$ netieši uzdod argumenta $x$ funkciju $f(x)$. Funkcija $y=f(x)$ ir nepārtraukti diferencējama intervālā
$(x_0-a,x_0+a)$, pie tam

$$f'(x)=-\frac{F_x'\bigl(x,f(x)\bigr)}{F_y'\bigl(x,f(x)\bigr)}\/.$$ (5.2)

5.1. zīm.

$\blacktriangleright$ Vispirms pierāda netiešā veidā uzdotas funkcijas eksistenci. No dotā seko, ka $F_y'(x_0,y_0)>0$ vai $F_y'(x_0,y_0)<0$. Pieņem, piemēram, ka

$$F_y'(x_0,y_0)>0.$$ (5.3)

Tā kā funkcija $F_y'(x,y)$ ir nepārtraukta punktā $(x_0,y_0)$ un $F_y'(x_0,y_0)>0$, tad eksistē tāds taisnstūris (5.1. zīm.)

$$K_1=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\Bigl\vert\vert x-x_0\vert\leq a_1,\;\vert y-y_0\vert\leq b\right\}\/,$$

kurā $F_y'(x,y)>0$.

Apskata viena argumenta funkciju $\psi(y)=f(x_0,y)$, $y_0-b\leq y\leq y_0+b$. Funkcija $\psi(y)$ aug intervālā $[y_0-b, y_0+b]$, jo $\psi'(y)=f_y'(x_0,y)>0$, pie tam $\psi(y_0)=f(x_0,y_0)=0$. Tāpēc

$$\psi(y_0-b)=F(x_0,y_0-b)<0,\;\psi(y_0+b)=F(x_0,y_0+b)>0.$$ (5.4)

Tā kā funkcija $F(x,y)$ ir nepārtraukta, tad vienādības (5.4) ir spēkā punktu $(x_0,y_0-b)$ un $(x_0,y_0+b)$ kaut kādās apkārtnēs. Tāpēc eksistē tāds $a\in (0,a_1)$, ka visiem $x\in [x_0-a,x_0+a]$ izpildās nevienādības

$$F(x,x_0-b)<0 \quad F(x,y_0+b)>0\/.$$ (5.5)

Parāda, ka taisnstūrī $K=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\Bigl\vert\vert x-x_0\vert\leq a,\;\vert y-y_0\vert\leq b\right\}$ vienādojums $F(x,y)=0$ netieši uzdod $x$ funkciju $f$. Izvēlas patvaļīgu punktu $x^{\ast}\in [x_0-a,\;x_0+a]$ un apskata intervālā $[y_0-b,\;y_0+b]$ nepārtrauktu viena argumenta funkciju $\varphi(y)=F(x^{\ast},y)$. Saskaņā ar nevienādībām (5.5) funkcijai $\varphi(y)$ intervāla $[y_0-b, y_0+b]$ galapunktos vērtību zīmes ir pretējas, t.i.,

$$\varphi(y_0-b)=F(x^{\ast},y_0-b)<0,\;\varphi(y_0+b)=F(x^{\ast},y_0+b)>0\/.$$

Saskaņā ar Bolcano teorēmu par nepārtrauktas funkcijas starpvērtībām eksistē tāds $y^{\ast}\in [y_0-b,y_0+b]$, ka $\varphi(y^{\ast})=F(x^{\ast},y^{\ast})=0$. Tā kā $\varphi'(y)=F_y'(x^{\ast},y)>0$, tad funkcija $\varphi(y)$ aug intervālā $[y_0-b, y_0+b]$ un vērtību nulle tā var iegūt tikai vienā šī intervāla punktā.

Tādējādi katram $x\in [x_0-a,x_0+a]$ eksistē tāds vienīgais
$y\in [y_0-b,y_0+b]$, ka $F(x,y)=0$. Tas nozīmē, ka taisnstūrī $K$ vienādojums $F(x,y)=0$ netieši uzdod $x$ funkciju $f$.

Tagad pierāda netiešā veidā uzdotas funkcijas diferencējamību.

Saskaņā ar Veierštrāsa 2. teorēmu slēgtā taisnstūrī $K$ nepārtraukta funkcija $F_y'(x,y)$ sasniedz šajā taisnstūrī savu vismazāko vērtību $\alpha$. Taisnstūrī $K$ $F_y'(x,y)>0$, tāpēc visiem $(x,y)\in K$ izpildās nevienādība

$$F_y'(x,y)\geq\alpha>0\/.$$ (5.6)

Saskaņā ar Veierštrāsa 1. teorēmu taisnstūrī $K$ nepārtraukta funkcija $F_x'(x,y)$ ir ierobežota šajā taisnstūrī. Tāpēc visiem $(x,y)\in K$ izpildās nevienādība

$$\left\vert F_x'(x,y)\right\vert<\beta.$$ (5.7)

Tātad funkcija $y=f(x)$ ir netieši uzdota taisnstūrī $K$ ar vienādojumu $F(x,y)=0$. Uz funkcijas $f(x)$ grafika izvēlas divus punktus $(x,y)$ un $(x+\Delta x,y+\Delta y)$. Skaidrs, ka $F(x,y)=0$ un $F(x+\Delta x,y+\Delta y)=0$. Saskaņā ar Lagranža formulu pārveido starpību $F(x+\Delta x,y+\Delta y)-F(x,y)$ (acīmredzami šī starpība ir nulle). Iegūst, ka

$$F_x'(x+\Theta\Delta x,y+\Theta\Delta y)\Delta x+F_y'(x+\Theta\Delta x,y+\Theta\Delta y)\Delta y=0\/.$$

No šejienes

$$\Delta y=-\frac{F_x'(x+\Theta\Delta x,y+\Theta\Delta y)}{F_y'(x+\Theta\Delta x,y+\Theta\Delta y)}\Delta x,\quad 0<\Theta<1\/.$$ (5.8)

Ja izmanto nevienādības (5.6), (5.7), tad no (5.8) iegūst, ka

$$\vert\Delta y\vert\leq\frac{\beta}{\alpha}\vert\Delta x\vert.$$ (5.9)

Acīmredzami, ja $\Delta x\rightarrow 0$, tad arī $\vert\Delta y\vert\rightarrow 0$, tas nozīmē, ka netieši uzdotā funkcija $f(x)$ ir nepārtraukta patvaļīgajā punktā $x\in [x_0-a,x_0+a]$. Ja vienādību (5.8) izdala ar $\Delta x$, izmanto parciālo atvasinājumu nepārtrauktību un pāriet pie robežas, kad $\Delta x\rightarrow 0$, tad iegūst, ka eksistē $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$, kas vienāda ar $-\frac{F_x'(x,y)}{F_y'(x,y)}$. Tādējādi $f'(x)=-\frac{F_x'(x,y)}{F_y'(x,y)}$, kur $y=f(x)$. No šīs vienādības seko, ka atvasinājums $f'(x)$ ne tikai eksistē intervālā $[x_0-a,x_0+a]$, bet arī ir nepārtraukts šajā intervālā, kā nepārtrauktu funkciju dalījums.  $\blacktriangleleft$

5.3. piezīme. 

Ja vienādojums $F(x,y)=0$ taisnstūrī

$$a\leq x\leq b,\;\;c\leq y\leq d$$

netieši uzdot funkciju $f(x)$, tad formulu (5.2) var iegūt formāli atvasinot pēc $x$ identitāti $F\bigl(x,f(x)\bigr)\equiv 0$.

5.2. definīcija. 

Par kopu $\;A\;$ un $\;B\;$ tiešo jeb Dekarta reizinājumu $\;A\times B$ sauc tādu pāru $(x,y)$ kopu, kur $x\in A$ un $y\in B$.

Piemēram, Dekarta reizinājumu $[a,b]\times [c,d]$ veido tādu reālu skaitļu $x$ un $y$ pāri $(x,y)$, kur $a\leq x\leq b$, $c\leq y\leq d$. Tika iegūts slēgts taisnstūris telpā $\mathbb{R}^2$.

5.3. definīcija. 

Par punkta $P_0\left(\overset{\circ}{x_1}, \overset{\circ}{x_2},\ldots,\overset{\circ}{x_n}\right)\in \mathbb{R}^n$ kubveida apkārtni $\;K(P_0)\;$ sauc telpas $\;\mathbb{R}^n\;$ tādu punktu $\;P((x_1,x_2,\ldots,x_n))\;$ kopu, kur $\;\bigl\vert x_i-\overset{\circ}{x_i}\bigr\vert<\varepsilon$ (i=1,...,n).

Acīmredzami, ja $K_1$, $K_2$ ir atbilstoši punktu $\left(\overset{\circ}{x_1},\overset{\circ}{x_2},\ldots,\overset{\circ}{x_n}\right)\in\mathbb{R}^n$ un $\left(\overset{\circ}{y_1},\overset{\circ}{y_2},\ldots,\overset{\circ}{y_m}\right)\in\mathbb{R}^m$ kubveida apkārtnes, tad $K_1\times K_2$ ir punkta $\left(\overset{\circ}{x_1},\overset{\circ}{x_2},\ldots,\overset{\circ}{x_n}, \... ..._1},\overset{\circ}{y_2},\ldots,\overset{\circ}{y_m} \right)\in\mathbb{R}^{n+m}$ kubveida apkārtne. Apskata $m$ vienādojumu sistēmu ar $(n+m)$ nezināmiem:

$$\left\{\begin{array}{c} F_1(x_1,\ldots,x_n, y_1,\ldots,y_m)=0,\medskip\\ \cdots\\ F_m(x_1,\ldots,x_n, y_1,\ldots,y_m)=0. \end{array}\right.$$ (5.10)

Uzskata, ka funkcijas $F_i$ $(i=1,\ldots,m)$ definētas punkta
$(\overset{\circ}{x_1},\overset{\circ}{x_2},\ldots,\overset{\circ}{x_n}, \overset{\circ}{y_1},\overset{\circ}{y_2},\ldots,\overset{\circ}{y_m})$ kaut kādā kubveida apkārtnē.

5.4. definīcija. 

Ja $K_1,K_2$ ir atbilstoši punktu $\left(\overset{\circ}{x_1},\ldots,\overset{\circ}{x_n}\right)\in\mathbb{R}^n$,
$\left(\overset{\circ}{y_1},\ldots,\overset{\circ}{y_m}\right)\in\mathbb{R}^m$ kubveida apkārtnes un jebkuram punktam
$(x_1,\ldots,x_n)\in K_1$ eksistē tāds vienīgais punkts $(y_1,\ldots,y_m)\in K_2$, ka

$$\left\{\begin{array}{c} F_1(x_1,\ldots,x_n, y_1,\ldots,y_m)=0,\medskip\\ \cdots\\ F_m(x_1,\ldots,x_n, y_1,\ldots,y_m)=0, \end{array}\right.$$

tad saka, ka kubveida apkārtnē $K_1\times K_2$ šī sistēma netieši definē $y_1,\ldots,y_m$ kā mainīgo $x_1,\ldots,x_n$ funkcijas.

5.3. teorēma. 

Ja izpildās šādi nosacījumi:

1. funkcijas $F_i(x_1,\ldots x_n,y_1,\ldots,y_m)$ $(i=1,\ldots,m)$ ir nepārtraukti diferencējamas punkta $\left(\overset{\circ}{x_1},\ldots \overset{\circ}{x_n}, \overset{\circ}{y_1},\ldots,\overset{\circ}{y_m}\right)$ kubveida apkārtnē,
2. $F_i\left(\overset{\circ}{x_1},\ldots \overset{\circ}{x_n}, \overset{\circ}{y_1},\ldots,\overset{\circ}{y_m}\right)=0$ $(i=1,\ldots,m)$,
3. punktā $\left(\overset{\circ}{x_1},\ldots \overset{\circ}{x_n}, \overset{\circ}{y_1},\ldots,\overset{\circ}{y_m}\right)$ determinante
   $$\left\vert\begin{array}{ccc} \frac{\partial F_1}{\partial y_1} & ... ..._1} & \cdots & \frac{\partial F_m}{\partial y_m} \end{array}\right\vert\neq 0,$$

tad eksistē punktu $\left(\overset{\circ}{x_1},\ldots,\overset{\circ}{x_n}\right)\in\mathbb{R}^n$ un $\left(\overset{\circ}{y_1},\ldots,\overset{\circ}{y_m}\right)\in\mathbb{R}^m$ tādas kubveida apkārtnes $K_1$ un $K_2$, ka kubveida apkārtnē $K_1\times K_2$ sistēma (5.10) netieši definē $y_1,\ldots,y_m$ kā mainīgo $x_1,\ldots,x_n$ funkcijas. Funkcijas $y_j=\varphi_j(x_1,\ldots,x_n)$ ir nepārtraukti diferencējamas kubveida apkārtnē $K_1$ un $\overset{\circ}{y_j}=\varphi_j(\overset{\circ}{x_1}, \ldots,\overset{\circ}{x_n})$ $(j=1,\ldots,m)$.

5.4. piezīme. 

Šo teorēmu var pierādīt, piemēram, ar matemātiskās indukcijas metodi.

5.2. piemērs. 

Noskaidrot, vai vienādojums $e^y+y\sin x-x^3+7=0$ netieši uzdod diferencējamu funkciju.

Funkcija $F(x,y)=e^y+y\sin x-x^3+7$ definēta visā $xOy$ plaknē. Visā plaknē eksistē nepārtraukti parciālie atvasinājumi $F_x'=y\cos x-3x^2$ un $F_y'=e^y+\sin x$. Piemēram, punktā $(2,0)$ funkcijas $F(x,y)$ vērtība ir nulle, t.i., $F(2,0)=0$, bet parciālais atvasinājums

$$F_y'(2,0)=1+\sin 2\neq 0$$

(starp citu arī $F_x'(2,0)=-12\neq 0$). Saskaņā ar 5.2. teorēmu dotais vienādojums punkta $x=2$ kaut kādā apkārtnē netieši definē $y$ kā $x$ funkciju. (Šis vienādojums punkta $y=0$ kaut kādā apkārtnē netieši definē $x$ kā $y$ funkciju). No vienādojuma nav iespējams caur galīga skaita elementārām funkcijām izteikt $y$ caur $x$ (nevar izteikt arī $x$ caur $y$). Atrod, piemēram, $y'(x)$. Tam nolūkam izmanto formulu $y'(x)=-\frac{F_x'}{F_y'}$. Tādējādi

$$y'(x)=-\frac{y\cos x-3x^2}{e^y+\sin x}=\frac{3x^2-y\cos x}{e^y+\sin x}\/.$$

Atvasinājumu var atrast arī neizmantojot minēto formulu, bet diferencējot pēc $x$ vienādojumu $e^y+y\sin x-x^3+7=0$. Uz mainīgo $y$ skatās kā uz $x$ funkciju. Iegūst $e^yy'+y'\sin x+y\cos x-3x^2=0$. Izsaka $y'=\frac{3x^2-y\cos x}{e^y+\sin x}$.

5.3. piemērs. 

Parādīt, ka vienādojumu sistēma

$$\left\{\begin{array}{l} x^2-2y^3-z^3=0, \\ x^3-y^5+z^2=1 \end{array}\right.$$

punkta $x=1$ kaut kādā apkārtnē netieši uzdod $y$ un $z$ kā $x$ diferencējamas funkcijas. Izskaitļot $y'$ un $z'$ punktā $x=1$, ja $y(1)=1$ un $z(1)=-1$.

Funkcijas $F_1(x,y,z)=x^2-2y^3-z^3$ un $F_2(x,y,z)=x^3-y^5+z^2-1$ definētas patvaļīgām $x,y$ un $z$ vērtībām. Parciālie atvasinājumi

$$\frac{\partial F_1}{\partial x} =2x, \frac{\partial F_2}{\partial x} =3x^2, \phantom{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}}$$

$$\frac{\partial F_1}{\partial y} =-6y^2, \frac{\partial F_2}{\partial y} =-5y^4, \phantom{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}}$$

$$\frac{\partial F_1}{\partial z} =-3z^2, \frac{\partial F_2}{\partial z} =2z$$

ir nepārtraukti patvaļīgām $x,y$ un $z$ vērtībām. Punktā $(1,1,-1)$ funkciju $F_1(x,y,z)$ un $F_2(x,y,z)$ vērtības ir nulle, t.i.,

$$F_1(1,1,-1)=F_2(1,1,-1)=0,$$

bet atbilstošā funkcionāldeterminante (skat.5.3. teorēmu) nav nulle. Tiešām

$$\left\vert\begin{array}{cc} \frac{\partial F_1}{\partial y} & \fr... ...t\begin{array}{cc} -6y^2 & -3z^2\medskip\\ -5y^4 & 2z \end{array}\right\vert$$

un punktā $y=1$, $z=-1$ tās vērtība

$$\left\vert\begin{array}{cc} -6 & -3\medskip\\ -5 & -2 \end{array}\right\vert=-3\neq 0\/.$$

Saskaņā ar 5.3. teorēmu dotā vienādojumu sistēma punkta $x=1$ kaut kādā apkārtnē netieši uzdod $y$ un $z$ kā $x$ diferencējamas funkcijas. Lai izskaitļotu šo funkciju atvasinājumu vērtības punktā $x=1$, vispirms diferencē pēc $x$ sistēmas abus vienādojumus

$$\left\{\begin{array}{l} 2x-6y^2y'-3z^2z'=0, \\ 3x^2-5y^4y'+2zz'=0. \end{array}\right.$$

Tagad ievieto $x=1$, $y=1$ un $z=-1$. Iegūst sistēmu

$$\left\{\begin{array}{l} 2-y'-3z'=0, \\ 3-5y'+2z'=0, \end{array}\right.$$

kuras atrisinājums ir $y'=\frac{5}{3}$, $z'=-\frac{8}{3}$.

5.4. piemērs. 

Noskaidrot, vai vienādojums $x^2+y^2-z^2=0$ kaut kāda punkta apkārtnē netieši uzdod, piemēram, $z$ kā $x$ un $y$ diferencējamu funkciju.

Funkcija $F(x,y,z)=x^2+y^2-z^2$ definēta patvaļīgām $x,y$ un $z$ vērtībām. Parciālie atvasinājumi $F_x'=2x$, $F_y'=2y$, $F_z'=-2z$ nepārtraukti jebkurā punktā $(x,y,z)$. Piemēram, punktā $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2},1\right)$ funkcijas $F(x,y,z)$ vērtība ir nulle, t.i., $F\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2},1\right)=0$, bet parciālais atvasinājums $F_z'\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2},1\right)=-2\neq 0$. Tāpēc punkta $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $y=\frac{\sqrt{2}}{2}$ kaut kādā apkārtnē dotais vienādojums netieši uzdod $z$ kā argumentu $x$ un $y$ diferencējamu funkciju. Funkcijas $z=f(x,y)$ parciālos atvasinājumus var atrast pēc formulām: $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x'}{F_z'}$, $\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y'}{F_z'}$. Tādējādi $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{x}{z}$, $\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{y}{z}$. Parciālos atvasinājumus $\frac{\partial z}{\partial x}$ un $\frac{\partial z}{\partial y}$ var atrast, diferencējot vienādojumu $x^2+y^2-z^2=0$ vienreiz pēc $x$ un otrreiz pēc $y$. Iegūst vienādojumu sistēmu

$$\left\{\begin{array}{l} 2x-2z\frac{\partial z}{\partial x}=0, \\ 2y-2z\frac{\partial z}{\partial y}=0. \end{array}\right.$$

Tās atrisinājums ir $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{x}{z}$, $\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{y}{z}$.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 5.2.1. Jautājumi Augstāk: 5. PIELIKUMS Iepriekšējais: 5.1.2. Vingrinājumi