Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.7. Jautājumi Augstāk: 2. DIFERENCIĀLRĒĶINU PAMATTEORĒMAS Iepriekšējais: 2.5. Lopitāla kārtula

2.6. Teilora formula

Teilora ^2.5 formulā funkcija tiek aproksimēta (tuvināti izteikta) ar polinomiem, kurus sauc par Teilora polinomiem. Teilora formulu lieto gan diferencējamas funkcijas vērtību tuvinātai aprēķināšanai, gan teorētisku jautājumu apskatā. Pieņemsim, ka funkcija $f$ ir $(n+1)$ reizi diferencējama punkta $x_0$ apkārtnē. Noteiksim tādu $n$-tās pakāpes polinomu $P_n(x)$, lai tas aproksimētu doto funkciju $f$ punkta $x_0$ apkārtnē. Par šo aproksimācijas polinomu izraudzīsimies šādu polinomu

$$\begin{multline} P_n(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x... ...cdots +\\ +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^{n}.\qquad\qquad\qquad \end{multline}$$

(Acīmredzot, $P_n(x_0)=f(x_0)$, $P'_n(x_0)=f'(x_0),\cdots$, $P_{n}^{(n)}(x_0)=f^{(n)}(x_0)$).

2.1. definīcija. Polinomu $P_n(x)$, kas ir definēts ar formulu (2.1), sauc par funkcijas $f$ $n$-tās pakāpes Teilora polinomu pēc $(x-x_0)$ pakāpēm. Polinoma koeficientus

$$f(x_0),\;\frac{f'(x_0)}{1!},\;\frac{f''(x_0)}{2!},\;\cdots,\;\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$$

sauc par Teilora koeficientiem.

Starpību $f(x)-P_n(x)$ apzīmēsim ar $R_n(x)$, kas ir aptuvenās vienādības $f(x)\approx P_n(x)$ kļūda.

Tātad $f(x)-P_n(x)=R_n(x)$ jeb

$$\begin{multline} f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^{2}+\cdots +\\ +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^{n}+R_n(x). \end{multline}$$

2.2. definīcija. Vienādību (2.2) sauc par funkcijas $f$ Teilora formulu punkta $x_0$ apkārtnē (jeb pēc $(x-x_0)$ pakāpēm), bet $R_n(x)$ - par tās atlikuma locekli.

2.5. zīmējums

Izmantojot $n$ reizes Lopitāla kārtulu, var parādīt, ka atlikuma loceklis $\,R_n(x)\,$ ir augstākas kārtas bezgalīgi maza funkcija salīdzinājumā ar $\;(x-x_0)^n\,$, kad $x\rightarrow x_0$, t.i.,

$$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^n}=0\/.$$

$R_n(x)=0\left((x-x_0)^n\right)$, kad $x\rightarrow x_0$.

Bez šīs formas atlikuma loceklim var būt arī citas formas. Aplūkosim, kā tas izskatās Lagranža formā vai Košī formā.

Izveidosim šādu funkciju

$$\varphi(z)=f(x)-f(z)-\frac{f'(z)}{1!}(x-z)-\frac{f''(z)}{2!}(x-z)^2- \ldots -\frac{f^{(n)}(z)}{n!}(x-z)^n\/,$$

kur $z$ atrodas starp $x_0$ un $x$ ($x$ - fiksēts punkts no $x_0$ apkārtnes).

Kā otru funkciju izvēlēsimies

$$\psi(z)=(x-z)^{n+1}\/.$$

Abas šīs funkcijas slēgtajā intervālā, kura galapunkti ir $x_0$ un $x$, apmierina Košī teorēmas nosacījumus, tāpēc

$$\frac{\varphi(x)-\varphi(x_0)}{\psi(x)-\psi(x_0)}=\frac{\varphi'(c)}{\psi'(c)}\/,$$

kur $c=x_0+\theta(x-x_0)\quad (0<\theta<1)$.

Ņemot vērā formulas, kas uzdod šīs funkcijas, iegūsim, ka

$$\varphi(x)=0\/; \varphi(x_0) =R_n(x)\/;$$

$$\psi(x)=0\/; \psi(x_0) =(x-x_0)^{n+1}\/;$$

$$\begin{multline*} \varphi'(z)=f'(z)-\left(\frac{f''(z)}{1!}(x-z)-f'(z)\right)-\\... ...1)!}(x-z)^{n-1}\right)=\\ =-\frac{f^{(n+1)}(z)}{n!}(x-z)^{n}\/; \end{multline*}$$

$\psi'(z)=-(n+1)(x-z)^n$.

Tātad

$$\varphi'(c)=-\frac{f^{(n+1)}(c)}{n!}(x-c)^n$$

un

$$\psi'(c)=-(n+1)(x-c)^n\/.$$

Košī teorēmas formula iegūs šādu izskatu

$$\frac{0-R_n(x)}{0-(x-x_0)^{n+1}}=\frac{-\frac{f^{(n+1)}(c)}{n!}(x-c)^n}{-(n+1)(x-c)^n}$$

jeb

$$\boxed{R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\/,}$$

kur $c=x_0+\theta(x-x_0)\/;\quad (0<\theta<1)$.

Šādi izsakās Teilora formulas atlikuma loceklis Lagranža formā. Parasti precīza $c$ vērtība nav zināma: var apgalvot tikai to, ka $c$ atrodas starp $x_0$ un $x$.

Teilora formula ar atlikuma locekli Lagranža formā izskatās šādi:

$$\begin{multline*} f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\cdots +\\ +\frac{f'^{(... ...^n+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\/,\qquad\qquad\qquad \end{multline*}$$

kur $c=x_0+\theta(x-x_0)\quad (0<\theta<1)$.

Apzīmējot $\Delta x=x-x_0\/,\quad \Delta f(x_0)=f(x)-f(x_0)$,

$$\begin{multline*} df(x_0)=f'(x_0)(x-x_0),\;\ldots,\; d^{n}f(x_0)=f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n,\\ d^{n+1}f(c)=f^{(n+1)}(c)(x-x_0)^{n+1}\/, \end{multline*}$$

šī formula pārrakstās šādi:

$$\Delta f(x_0)=df(x_0)+\frac{d^2f(x_0)}{2!}+\cdots +\frac{d^nf(x_0)}{n!}+ \frac{d^{n+1}f(c)}{(n+1)!}\/,$$

kur $c=x_0+\theta(x-x_0)\quad (0<\theta<1)$.

2.7. piezīme. 

Ievietojot $n=0$, iegūsim Teilora formulas atsevišķu gadījumu, kas ir Lagranža formula.

Tagad funkciju $\psi$ izvēlēsimies šādu: $\psi(x)=x-z$. Arī šoreiz funkcijām $\varphi$ un $\psi$ pielietosim Košī teorēmu. Iegūsim Teilora formulas atlikuma locekli Košī formā:

$$\boxed{R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(x_0+\theta(x-x_0))(1-\theta)^{n}}{n!}(x-x_0)^{n+1}\/,}$$

kur $0<\theta<1$.

2.7. piemērs. 

Funkcijai $f(x)=e^x$ uzrakstīt Teilora formulu ar atlikuma locekli Lagranža formā.

Uzrakstīsim Teilora formulu pēc $x$ pakāpēm (jeb punkta $x_0=0$ apkārtnē). Šai funkcijai

$$f'(x)=f''(x)=\cdots =f^{(n)}(x)=f^{(n+1)}(x)=e^x\/.$$

Tātad $f(0)=f'(0)=f''(0)=\cdots =f^{(n)}(0)=1$ un $f^{(n+1)}(c)=e^c$, kur $c=\theta x\quad (0<\theta<1)$.

Teilora formula ar atlikuma locekli Lagranža formā šai funkcijai izskatās:

$$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}x^{n+1}\/,$$

kur $0<\theta<1$.

2.8. piemērs. 

Funkcijai $f(x)=\ln(1+x)$ uzrakstīt Teilora formulu ar atlikuma locekli Košī formā.

Šai funkcijai uzrakstīsim Teilora formulu punkta $x_0=0$ apkārtnē. Šoreiz

$$\begin{multline*} f'(x)=\frac{1}{1+x},\;f''(x)=\frac{-1}{(1+x)^2},\;\ldots,\; f^... ...1)!}{(1+x)^n},\\ f^{(n+1)}(x)=(-1)^{n}\frac{n!}{(1+x)^{n+1}}\/. \end{multline*}$$

Tātad

$$\begin{multline*} f(0)=\ln 1=0,\; f'(0)=1,\; f''(0)=-1,\;\ldots\;,\\ f^{(n)}(0)=(-1)^{n-1}(n-1)!\,, f^{(n+1)}(c)=(-1)^n\frac{n!}{(1+c)^{n+1}}\/, \end{multline*}$$

kur $c=\theta x$, $0<\theta<1$.

Teilora formula ar atlikuma locekli Košī formā šai funkcijai izskatās:

$$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots +(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}- \frac{(-1)^n(1-\theta)^n}{(1+\theta x)^{n+1}}x^{n+1}\/,$$

kur $0<\theta<1$.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.7. Jautājumi Augstāk: 2. DIFERENCIĀLRĒĶINU PAMATTEORĒMAS Iepriekšējais: 2.5. Lopitāla kārtula