Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.6. Teilora formula Augstāk: 2. DIFERENCIĀLRĒĶINU PAMATTEORĒMAS Iepriekšējais: 2.4. Košī teorēma (Teorēma par funkciju

2.5. Lopitāla kārtula

2.5. teorēma. Ja funkcijas $f$ un $g$ ir definētas un diferencējamas punkta $a\in \mathbb{R}$ apkārtnē, izņemot varbūt šo punktu, pie tam $g'(x)\neq 0$, $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=0$ vai $\lim\limits_{x\rightarrow a}\vert f(x)\vert=\lim\limits_{x\rightarrow a}\vert g(x)\vert=+\infty$; eksistē $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=k$, tad attiecībai $\frac{f(x)}{g(x)}$ eksistē robeža, kad $x\rightarrow a$, kas arī ir vienāda ar $k$.

$\blacktriangleright$ Teorēmu pierādīsim tikai nenoteiktībai $\frac{0}{0}$. Punkta $a$ apkārtnē uzdosim šādas divas funkcijas

$$f_1(x)=\left\{\begin{array}{lcl} f(x), & {\rm ja} & x\neq a, \\ 0, & {\rm ja} & x=a, \end{array}\right.$$

un

$$g_1(x)=\left\{\begin{array}{lcl} g(x), & {\rm ja} & x\neq a, \\ 0, & {\rm ja} & x=a. \end{array}\right.$$

Funkcijas $f_1$ un $g_1$ ir nepārtrauktas punktā $a$ un tā apkārtnē. Izvēlēsimies patvaļīgu $x>a$ no punkta $a$ apkārtnes. Funkcijas $f_1$ un $g_1$ intervālā $[a;x]$ apmierina Košī teorēmas nosacījumus, tāpēc

$$\frac{f_1(x)-f_1(a)}{g_1(x)-g_1(a)}=\frac{f'_1(c)}{g'_1(c)},$$

kur $a<c<x$.

Ņemot vērā to, kā ir uzdotas funkcijas $f_1$ un $g_1$, iegūsim $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$, kur $a<c<x$.

Tā kā $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=k$, tad šīs vienādības labajai, tātad arī kreisajai pusei eksistē robeža no labās puses punktā $a$, pie tam

$$\lim\limits_{\substack{x\rightarrow a\\ x>a}}\frac{f(x)}{g(x)}=k\/.$$

(Acīmredzot, ja $x\rightarrow a$, tad arī $c\rightarrow a$).

Ja tagad izvēlētos patvaļīgu $x<a$ no punkta $a$ apkārtnes un rīkotos analogi, tad iegūtu:

$$\lim\limits_{\substack{x\rightarrow a\\ x<a}}\frac{f(x)}{g(x)}=k\/.$$

Tātad eksistē

$$\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=k\/. \blacktriangleleft$$

2.5. piezīme. 

Izmantojot iegūtos rezultātus, ar substitūciju $x=\frac{1}{u}$ var pierādīt, ka teorēma ir pareiza arī tad, kad $x\rightarrow +\infty$ vai $x\rightarrow -\infty$.

No teorēmas izriet šāds paņēmiens (Lopitāla^2.4kārtula) nenoteiktību $\frac{0}{0}$ vai $\frac{\infty}{\infty}$ atklāšanai: lai aprēķinātu $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}$, kad skaitītājs un saucējs reizē tiecas uz nulli vai bezgalību, ir atsevišķi jāatvasina skaitītājs un saucējs un jāaprēķina atvasinājumu attiecības robeža, kad $x\rightarrow a$. Ja iegūtā robeža atkal ir nenoteiktība $\frac{0}{0}$ vai $\frac{\infty}{\infty}$, tad paņēmienu drīkst atkārtot.

2.1. piemērs. 

Aprēķināt $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 4x}{2x-\sin 3x}$.

Lietojot Lopitāla kārtulu vienu reizi, iegūsim

$$\begin{multline*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 4x}{2x-\sin 3x}=\left(\... ...{4\cos 4x}{2-3\cos 3x}=\frac{4}{2-3}=-4.\qquad\qquad\qquad\qquad \end{multline*}$$

2.2. piemērs. 

Aprēķināt $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x^{3}}{x-\sin x}$.

Lietojot Lopitāla kārtulu trīs reizes, iegūsim

$$\begin{multline*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x^{3}}{x-\sin x}=\left(\frac... ...x\rightarrow 0}\frac{6}{\cos x}=\frac{6}{1}=6.\qquad\qquad\qquad \end{multline*}$$

2.3. piemērs. 

Aprēķināt $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^{n}}{e^{x}}$ (n - naturāls skaitlis).

Lietojot Lopitāla kārtulu $n$ reizes, iegūsim

$$\begin{multline*} \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{x^{n}}{e^{x}}=\left(\... ...im\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{n(n-1)\cdots 1 }{e^{x}}=0. \end{multline*}$$

Lai, izmantojot Lopitāla kārtulu, atklātu nenoteiktības $\infty-\infty$, $0\cdot \infty$, $0^{0}$, $1^{\infty}$, $\infty^{0}$, tās vispirms jāreducē uz nenoteiktībām $\frac{0}{0}$ vai $\frac{\infty}{\infty}$.

Nenoteiktību $0\cdot \infty$ var reducēt uz nenoteiktību $\frac{0}{0}$ šādi:

$$f\cdot g=\frac{f}{\frac{1}{g}}.$$

Nenoteiktības $\infty-\infty$ gadījumā $f-g$ pārveido šādi:

$$\frac{\frac{1}{g}-\frac{1}{f}}{\frac{1}{f\cdot g}}.$$

Iegūst nenoteiktību $\frac{0}{0}$.

Pārējās nenoteiktības ($0^{0}$, $1^{\infty}$, $\infty^{0}$) reducē uz nenoteiktību $0\cdot \infty$, uzrakstot $f^{g}$ izskatā $e^{g\ln f}$.

2.4. piemērs. 

Aprēķināt $\lim\limits_{x\rightarrow 1}(1-x)\tg\frac{\pi}{2}x$.

$$\begin{multline*} \lim\limits_{x\rightarrow 1}(1-x)\tg\frac{\pi}{2}x=(0\cdot \in... ...c{\pi}{2}\cdot\frac{1}{\sin^{2}\frac{\pi}{2}x}}=\frac{2}{\pi}\/. \end{multline*}$$

2.5. piemērs. 

Aprēķināt $\lim\limits_{x\rightarrow 0} \left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right)$.

$$\begin{multline*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}... ...rightarrow 0}\frac{\sin x}{\cos x+\cos x-x\sin x}=\frac{0}{2}=0. \end{multline*}$$

2.6. piemērs. 

Aprēķināt $\lim\limits_{x\rightarrow 0} \left(\cos 2x\right)^{\frac{1}{x^{2}}}$.

$$\begin{multline*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\cos 2x\right)^{\frac{1}{x^{... ...m\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{2}{\cos^{2}2x}}{1}}=e^{-2}. \end{multline*}$$

2.6. piezīme. 

Saskaņā ar Lopitāla kārtulu, ja eksistē funkciju atvasinājumu attiecības robeža, tad eksistē arī šo funkciju attiecības robeža. Turpretī, ja atvasinājumu attiecības robeža neeksistē, tad tas vēl nenozīmē, ka neeksistē funkciju attiecības robeža.

Piemēram, $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{x+\sin x}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{\sin x }{x}\right)=1$ eksistē, lai gan atvasinājumu attiecības $\frac{(x+\sin x)'}{x'}=1+\cos x$ robeža, kad $x\rightarrow +\infty$, neeksistē.

Matemātika DU TSC Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.6. Teilora formula Augstāk: 2. DIFERENCIĀLRĒĶINU PAMATTEORĒMAS Iepriekšējais: 2.4. Košī teorēma (Teorēma par funkciju