Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.3. Lagranža teorēma Augstāk: 2. DIFERENCIĀLRĒĶINU PAMATTEORĒMAS Iepriekšējais: 2.1. Fermā teorēma

2.2. Rolla teorēma (Teorēma par atvasinājuma nullēm)

2.2. teorēma. [Rolla^2.1 teorēma] Ja funkcija $f$ nepārtraukta slēgtā intervālā $[a;b]$, diferencējama šī intervāla iekšējos punktos un šī intervāla galapunktos funkcijas vērtības ir vienādas, t.i., $f(a)=f(b)$, tad eksistē vismaz viens tāds intervāla iekšējais punkts $\;c\,$, kurā $\;f'(c)=0$.

$\blacktriangleright$ Apzīmēsim ar $m$ un $M$ attiecīgi funkcijas vismazāko un vislielāko vērtību intervālā $[a;b]$. (Šādas vērtības eksistē, jo funkcija ir nepārtraukta šajā intervālā).

Ja $m=M$, tad intervālā $[a;b]$ $f$ ir konstanta funkcija un jebkurā tā punktā $f'(x)=0$.

Ja $m<M$, tad vismaz viens no šiem skaitļiem $m, M$ atšķiras no skaitļa $f(a)=f(b)$, piemēram, $M\neq f(a)$. Seko, ka funkcija $f$ savu vislielāko vērtību $M$ sasniedz šī intervāla kādā iekšējā punktā $c$, t.i., eksistē tāds $c\in (a;b)$, ka $f(c)=M$. Saskaņā ar Fermā teorēmu $f'(c)=0$. $\blacktriangleleft$

2.2. piezīme. 

$\phantom{}$

1. Rolla teorēmai ir šāda ģeometriska interpretācija: uz funkcijas grafika eksistē tāds punkts $A(c;f(c))$, kurā novilktā pieskare ir horizontāla (2.2. zīm.).
2. Tādi punkti, kuros atvasinājums ir nulle, var būt vairāki (2.3. zīm.).
3. Ja $f(a)=f(b)=0$, tad Rolla teorēma apgalvo, ka starp divām funkcijas nullēm^2.2 eksistē vismaz viena atvasinājuma nulle.
4. Visi teorēmas nosacījumi ir būtiski, piemēram, funkcijai $\;f(x)=\vert x\vert\;$ intervālā $[-1,1]$ teorēma nav spēkā, jo punktā $x=0$ šī funkcija nav diferencējama.

2.2. zīmējums

2.3. zīmējums

Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.3. Lagranža teorēma Augstāk: 2. DIFERENCIĀLRĒĶINU PAMATTEORĒMAS Iepriekšējais: 2.1. Fermā teorēma