Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.4. Košī teorēma (Teorēma par funkciju Augstāk: 2. DIFERENCIĀLRĒĶINU PAMATTEORĒMAS Iepriekšējais: 2.2. Rolla teorēma (Teorēma par atvasinājuma

2.3. Lagranža teorēma

2.3. teorēma. Ja funkcija $f$ nepārtraukta slēgtā intervālā $[a;b]$ un ir diferencējama šī intervāla iekšējos punktos, tad eksistē vismaz viens tāds intervāla iekšējais punkts $c$, kurā

$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

$\blacktriangleright$ Izveidosim palīgfunkciju $F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$. Šī funkcija $F$ apmierina visus Rolla teorēmas nosacījumus: nepārtraukta intervālā $[a;b]$, diferencējama tā iekšējos punktos (jo šādas īpašības piemīt funkcijai $f$) un $F(a)=F(b)$, jo $F(a)=0$ un $F(b)=0$. Saskaņā ar Rolla teorēmu eksistē tāds $c\in (a;b)$, ka $F'(c)=0$.

Tā kā

$$F'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$   un$$\quad F'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a},$$

tad

$$f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$$   jeb$$\quad f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\blacktriangleleft$$

Lai sniegtu Lagranža teorēmai ģeometrisko interpretāciju, izveidosim šādu zīmējumu (2.4. zīm.).

2.4. zīmējums

No taisnleņķa trijstūra $\;ADB\,$: $\;\tg \alpha=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\,$. Šī attiecība no ģ eometriskā viedokļa izsaka hordas $\,AB\,$ virziena koeficientu. Tā kā $\;f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ un $k=f'(c)$ ir funkcijas grafikam punktā $C(c;f(c))$ novilktās pieskares virziena koeficients, tad var teikt, ka saskaņā ar Lagranža teorēmu uz grafika eksistē tāds punkts, kurā novilktā pieskare ir paralēla hordai $AB$.

2.3. piezīme. 

Arī šoreiz tādi punkti $c$ var būt vairāki un visi Lagranža teorēmas nosacījumi ir būtiski.

Pieņemsim, ka visi Lagranža teorēmas nosacījumi izpildās intervālā $[b;a]$ (šoreiz $b<a$).

Saskaņā ar teorēmu eksistē tāds $c\in (b;a)$, kurā

$$f'(c)=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$$

jeb

$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Tātad Lagranža teorēmas formula ir spēkā gan $a<b$, gan $a>b$. Starpvērtību $c$ ir izdevīgi pierakstīt formā $c=a+\Theta (b-a)$, kur $0<\Theta <1$. Ja šajā formulā ievieto $a=x$, $b-a=\Delta x$ un $b=x+\Delta x$, tad iegūst formulu

$$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=f'(x+\Theta \Delta x)$$

jeb

$$\boxed{f(x+\Delta x)-f(x)=f'(x+\Theta \Delta x)\Delta x,\quad \rm{kur}\quad 0<\Theta <1\/.}$$

Šo formulu sauc par Lagranža galīgo pieaugumu formulu (turpmāk: Lagranža formulu).

Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.4. Košī teorēma (Teorēma par funkciju Augstāk: 2. DIFERENCIĀLRĒĶINU PAMATTEORĒMAS Iepriekšējais: 2.2. Rolla teorēma (Teorēma par atvasinājuma