Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.2. Rolla teorēma (Teorēma par atvasinājuma Augstāk: 2. DIFERENCIĀLRĒĶINU PAMATTEORĒMAS Iepriekšējais: 2. DIFERENCIĀLRĒĶINU PAMATTEORĒMAS

2.1. Fermā teorēma

2.1. teorēma. Ja intervālā $\left\langle a;b\right\rangle$ definētā funkcija šī intervāla iekšējā punktā $c$ sasniedz savu vismazāko vai vislielāko vērtību un ir diferencējama šajā punktā, tad $f'(c)=0$.

$\blacktriangleright$ Pieņemsim, ka punktā $c$ funkcija $f$ sasniedz savu vislielāko vērtību, t.i., visiem $x\in \left\langle a;b\right\rangle$ izpildās $f(x)\leq f(c)$. Sastādīsim attiecību $\frac{f(x)-f(c)}{x-c}$ un novērtēsim tās zīmi.

Ja $x<c$, tad

$$\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\geq 0,$$

ja $x>c$, tad

$$\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\leq 0.$$

(Skaitītājs abos gadījumos ir nepozitīvs, t.i., $f(x)-f(c)\leq 0$).

Atradīsim šai attiecībai vienpusējās robežas punktā $c$. Robeža no kreisās puses būs vienāda ar funkcijas atvasinājumu no kreisās puses punktā $c$, pie tam $f'(c-0)\geq 0$.

Analogi

$$f'(c+0)=\lim_{\substack{x\rightarrow c\\ x>c}}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\leq 0.$$

(Vienpusējie atvasinājumi eksistē un tie ir vienādi ar $f'(c)$, jo funkcija ir diferencējama šajā punktā).

Esam ieguvuši, ka

$$\left\{\begin{array}{l} f'(c-0)\geq 0, \\ f'(c+0)\leq 0. \ \end{array}\right.$$

Tādējādi $f'(c)=0$. $\blacktriangleleft$

2.1. piezīme. 

$\phantom{}$

1. Analogi apskata otru gadījumu, kad funkcija punktā $c$ sasniedz savu vismazāko vērtību.
2. Funkcijas grafikam atbilstošajā punktā $A(c;f(c))$novilktā pieskare ir horizontāla (2.1. zīm.).

2.1. zīmējums

Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.2. Rolla teorēma (Teorēma par atvasinājuma Augstāk: 2. DIFERENCIĀLRĒĶINU PAMATTEORĒMAS Iepriekšējais: 2. DIFERENCIĀLRĒĶINU PAMATTEORĒMAS