Matemātika DU TSC
Nākamais: 3. LINEĀRĀS PROGRAMMĒŠANAS UZDEVUMI Augstāk: 2.3. Minimuma punkta meklēšanas metodes vairāku Iepriekšējais: 2.3.2. Šķēlumu metode

2.3.3. Soda funkciju metode vairāku argumentu funkcijas nosacītā minimuma meklēšanai

Soda funkciju metodes (saīsināti S.F.M.) pamatā ir ideja par funkcijas $f$ nosacītās minimizēšanas uzdevuma aizvietošanu ar brīvās minimizēšanas uzdevumu virkni $F_N\longrightarrow min$.

2.11. piemērs. 

Apskatīsim nosacītās minimizēšanas problēmu:

$$f(x;y)= \;4x^{2}+5y^{2}\longrightarrow min,$$

$$g(x;y) = \;2x + 3y - 6 = 0.$$

Izmantojot Lagranža metodi (skat. 1.2.4. apakšparagrāfu), var iegūt šīs problēmas atrisinājumu:

$$x =\frac{15}{14},\;\;y=\frac{18}{14}.$$

Pielietosim S.F.M. Sastādīsim jaunu funkciju

$$F_{N}(x;y)=f(x;y)+ N(2x+ 3y - 6)^{2},$$

kura ir atkarīga no parametra $N$. Locekli $N(2x+3y-6)^{2}$ sauc par sodu par nosacījuma neizpildīšanos: jo tālāk punkts $(x;y)$ ir no taisnes $2x + 3y - 6 = 0$, jo lielāks ir elements $N(2x+3y-6)^{2}$.

Meklējam problēmas

$$F_{N}(x,y)\longrightarrow min$$

atrisinājumu, lietojot jebkuru brīva ekstrēma meklēšanas metodi. Risinot sistēmu

$$\left\{\begin{array}{cccccl} \frac{\partial F_{N}}{\partial x}&=&... ...\partial F_{N}}{\partial y}&=&10y &+& 6N (2x + 3y - 6)& = 0, \end{array}\right.$$

atrodam

$$\left\{\begin{array}{ccc} 2x + 3y - 6 &=&- \frac{2x}{N},\ 2x + 3y - 6 &=&- \frac{5y}{3N}, \end{array}\right.$$

no kurienes seko, ka $x =\frac{5y}{6}$. Ievietojot $x$ pēdējās vienādojumu sistēmas otrajā vienādojumā, iegūsim

$$y = \frac{18}{14 + \frac{5}{N}}.$$

Tad

$$x = \frac{15}{14 + \frac{5}{N}}.$$

Kad $N$ tiecas uz bezgalību, tad

$$x\longrightarrow\frac{15}{14}\; \;y\longrightarrow \frac{15}{14},$$

t.i., $x$ un $y$ tiecas uz sākotnējā uzdevuma atrisinājumu.

S.F.M. apraksts. Problēma:

$$F(x)\longrightarrow min,\;\;g_{k}=0\;\;(k=1,\ldots,m).$$

Nosacījumi $g_{k}=0$ definē pieļaujamo apgabalu $U$. Par soda funkciju sauc funkciju $P_{N}(x)$ ar šādām īpašībām:

1) $P_{N}(x)\geq 0$, $x\in U$, $N>0$;

2) $\lim\limits_{N\rightarrow\infty}P_N(x)= \left\{\begin{array}{ccl} 0\/, & \text{ja} & x\in U\/, \\ +\infty\/, & \text{ja} & x\not\in U\/, \end{array}\right.$

Iespējamās soda funkcijas:

$$P_{N}(x)= \;\sum\limits_{i=1}^m g_i^2(x),$$

$$P_{N}(x)= \;\frac{1}{N}\cdot e^{N\cdot\sum\limits_{i = 1}^m {g_i^2 (x)}},$$

$$P_{N}(x)= \;N\cdot\sum\limits_{i = 1}^m{\left\vert{g_i (x)}\right\vert}.$$

Nobeigumā apskatīsim vēl vienu piemēru.

2.12. piemērs. 

$$f(x;y)= \;x^{2}+xy+y^{2}\longrightarrow min,$$

$$g(x;y) = \;x + y - 2 = 0.$$

Soda funkcija: $P_N(x;y)=N(x+y-2)^{2}$. Meklējam problēmas

$$F_{N}(x;y)=x^{2}+xy+y^{2}+N(x+y-2)^{2}\longrightarrow min$$

atrisinājumu. Risinot sistēmu

$$\left\{\begin{array}{cccc} \frac{\partial F_{N}}{\partial x}&=&2x... ...rac{\partial F_{N}}{\partial y}&=&2y + x + N (x + y - 2)&=0, \end{array}\right.$$

atrodam, ka $2x + y = 2y + x$ jeb $x=y$. Tāpēc no pirmā vienādojuma izriet, ka

$$x = \frac{2}{2 + \frac{3}{N}}.$$

Tad

$$y = \frac{2}{2 + \frac{3}{N}}.$$

Acīmredzams, ja $N\rightarrow\infty$, tad $x\rightarrow 1$ un $y\rightarrow 1$. Problēmas atrisinājums - punkts $(1;1)$, kurā funkcija $f$ iegūst nosacītu minimumu.

2.5. piezīme. 

Izvērstāku informāciju par soda funkciju metodi var atrast grāmatās [1], [3], [5].

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3. LINEĀRĀS PROGRAMMĒŠANAS UZDEVUMI Augstāk: 2.3. Minimuma punkta meklēšanas metodes vairāku Iepriekšējais: 2.3.2. Šķēlumu metode