Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.2.5. Lagranža reizinātāju metode, kad ierobežojumi Augstāk: 1.2. Nosacītais ekstrēms Iepriekšējais: 1.2.3. Mainīgo izslēgšanas metode

1.2.4. Lagranža reizinātāju metode, kad ierobežojumi ir vienādību veidā

Mainīgo izslēgšanas metode ne vienmēr ir ērta, jo dažkārt argumentu izslēgšana prasa vienādojumu un vienādojumu sistēmu analītisku risinājumu, kas, vispārīgi runājot, ir iespējams tikai retos gadījumos.

Nosaukumā minētā metode dodiespēju sākotnējo nosacītā minimuma problēmu reducēt uz brīvā ekstrēma problēmu.

1.3. piemērs. [Divi argumenti, viens ierobežojums]

$\phantom{\/}$

Minimizēt funkciju $f(x;y)=x^{2}+y^{2}$, ja $y=x+1$.

Funkcijas $f$ grafiks ir eliptiskais paraboloīds, un $x$ un $y$ vērtības atrodas uz taisnes $y=x+1$ divdimensiju telpā $\mathbb{R}^{2}$. No ģeometriskā viedokļa ir skaidrs, ka minimuma punktam ir jāeksistē.

Saskaņā ar Lagranža metodi ir jāieved vienu (pēc ierobežojumu skaita!) parametru $\lambda$ un jāsastāda tā saucamā Lagranža funkcija

$$L(x;y;\lambda)=f(x;y)+\lambda(y-x-1).$$

Tālāk jāmeklē Lagranža funkcijas stacionārie punkti ar ieceri, ka tie dos sākotnējās problēmas atrisinājumu. Lagranža funkcijas stacionārie punkti apmierina vienādojumu sistēmu

$$\left\{\begin{array}{ccccc} L_{x}&=&2x -\lambda&=&0,\ L_{y}&=&2y+\lambda&=&0,\ L_{\lambda}&=&y-x-1&=&0, \end{array}\right.$$

kuras atrisinājums ir $x=-0,5$, $y = 0,5$, $\lambda=-1$.

1.9. piezīme. 

Nav jēgas aplūkot divu argumentu funkcijas minimizēšanas problēmu pie diviem ierobežojumiem, jo divi ierobežojumi, vispārīgi runājot, nosaka vienīgo punktu, un tad minimizēšanas problēma kļūst triviāla. Tā, piemēram, iepriekš aplūkotā problēma ar papildnosacījumu $y = 1$ reducējas uz funkcijas $f(x;y)$ minimizēšanas problēmu kopā $\{(x;y):\;y = x + 1,\;y = 1\}$, kura sastāv, acīmredzot, no vienīgā punkta $(0;1)$.

1.4. piemērs. [Trīs argumenti, divi ierobežojumi]

$\phantom{\/}$

Minimizēt funkciju

$$f(x;y;z)=x^{2}+y^{2}+z^{2},$$

ja

$$x+y+z= \;7,$$

$$x-y= \;2.$$

Sastādām Lagranža

$$L(x;y;z;\lambda_{1};\lambda_{2})=x^2+y^2+z^2+\lambda_{1}(x+ y+z-7)+\lambda_{2}(x-y-2).$$

Tā kā ir divi ierobežojumi, tad tiek ievesti divi Lagranža reizinātāji $\lambda_{1}$ un $\lambda_{2}$ jeb Lagranža vektors $(\lambda_{1};\lambda_{2})$. Tālāk ir jārisina standarta brīvā ekstrēma problēma. Lagranža funkcijas stacionārie punkti apmierina vienādojumu sistēmu

$$\left\{\begin{array}{ccl} L_x&=&2x+\lambda_{1}+\lambda_{2}=0,\ ... ...0,\ L_{\lambda_1}&=&x+y+z-7=0,\ L_{\lambda_2}&=&x-y-2=0, \end{array}\right.$$

kuras atrisinājums ir:

$$x =\frac{10}{3},\;\;y=\frac{4}{3},\;\;z=\frac{7}{3},\;\;\lambda _{1}=-\frac{14}{3},\;\;\lambda_{2}=-2.$$

Tātad nosacītā ekstrēma punkts (no ģeometriskā viedokļa ir skaidrs, ka tas ir minimuma punkts) ir punkts $\left(\frac{10}{3};\frac{4}{3};\frac{7}{3}\right)$.

1.10. piezīme. 

Risinot vienādojumu sistēmu, var neinteresēties (pagaidām) par Lagranža reizinātāju vērtībām.

Risināšanas shēma.

Aplūkosim vairāku argumentu funkcijas $f(x)$,
$x\in\mathbb{R}^{n}$, minimizēšanas problēmu, kad ir uzdoti $m$ $(m<n)$ ierobežojumi vienādību veidā:

$$g_{i}(x)=0\;\;(i=1,2,\ldots,m).$$

Jāsastāda $(n+m)$ argumentu Lagranža funkcija

$$L(x;\lambda)=f(x)+\sum\limits_{i = 1}^m{\lambda_i g_i (x)}$$

un jāaplūko brīva ekstrēma problēma šai Lagranža funkcijai. Tātad, problēmas atrisinājumi atrodas starp $(n+m)$ vienādojumu sistēmas

$$\left\{ \begin{array}{l} L_{x_i}=0\quad (i = 1,\ldots ,n),\ L_{\lambda_j}=0\quad (j = 1,\ldots ,m), \end{array}\right.$$

atrisinājumiem.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.2.5. Lagranža reizinātāju metode, kad ierobežojumi Augstāk: 1.2. Nosacītais ekstrēms Iepriekšējais: 1.2.3. Mainīgo izslēgšanas metode